第五章 数字滤波器的基本概念及一些特殊滤波器

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幅度最大处幅度为1，因此
H e
j 2
上式中r的值由在 w 4 9的幅度值确定，因此
H e
j 4 9
2 1 r2 G 1 r 2 即G 2

2
1 r
2
2
4
1 r 4 2r 2 cos 8 9
2 2 cos 8 9
1.数字滤波器与数字滤波 滤波的涵义： 将输入信号的某些频率成分或某个频带进行压缩、放大; 对信号进行检测; 对参数估计; 数字滤波器： 通过对输入信号的进行数值运算的方法来实现滤波 模拟滤波器： 用电阻、电容、电感及有源器件等构成滤波器对信号进行滤波 2.数字滤波器的实现方法 用软件在计算机上实现 用专用的数字信号处理芯片 用硬件
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5.3.1 一阶数字滤波器
特点：具有一个极点， 零点可以有一个也可以没有。
1 a H1 z , a 0.95 za
1
1
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
Imaginary Part
0 -0.5 -1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1 1.5
0.4 0.2 0 -0.2 -10 0.4
x(n)
理想低通滤波器 的单位脉冲响应
0 10 20 n 30 40 50
0.2 0 -0.2 -10 0 10 20 n 30 40 50
理想低通的近似实现
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处理以后滤波器的传输函数 H N e jw 与理想 jw 低通的传输函数 H e 的不同是： 1）通带中的幅度产生了波动，不再是常数； 2）阻带的幅度不再是零； 3）原来没有过渡带，现在产生了过渡带。
1
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
1
Imaginary Part
0.5
0.5 0 -0.5 -1
Imaginary Part
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
-1
-0.5 0 0.5 Real Part
(d) -0.95,1
1
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2
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5.2.2 理想滤波器的可实现性
因果序列 不能物理实现 0.4 0.2 近似实现办法： 0 h n 的波形向右移动，忽略 n 0的部分成为因果序列 1）-0.2 -10 0 10 20 30 40 50 2）截取中间幅度最大的部分，以保持滤波器有线性相位 n
x(n) x(n)
j0
1 pz
G
1 2
H e j 4
1 pe 1 p cos 4 jp sin 4 1 p
j 4 2 2
G

G

1 p
2
2 j p
2

2
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上式解出p=0.32，则滤波器的系统函数为
H z
1 0.32 z

jw p
10 lg H e
jw p
2

jw p

2
103 10 1 2
因为滤波器系数是实数，因此
H e

jw p

2
H e

jw p
H e H e H e 0.5
jw p jw p jw p
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将其系统函数带入上式，可推出：
0.5 w/
1
结论:设计单极点单零点低通滤波器应该让零点远离级点。
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5.3.2 一阶低通滤波器带宽的计算
一阶低通滤波器的系统函数
1 a 1 z 1 H2 z 2 1 az 1
设 w wp ，幅度降到-3 dB ,则
3 20 lg H e H e
0.16 0.10
0.40 0.30 0.20 0.15
0.05
0.10
0.05
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例5.1 假设模拟信号 xa (t ) sin 7t sin 200t ，设计一 个低通数字滤波器将信号中的高频分量滤除。 解: 确定采样间隔T：显然要选择T< /200=0.0157， 确定T=0.015。 低通滤波器：低频分量 7 0.015 0.105rad 高频分量 200 0.015 3rad 选择带宽 0.2rad 利用 wp 1 a 计算出a =0.8 数字低通滤波器的系统函数为
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幅度特性为： H e jw C 相位特性为： w wn0 群时延为： d w g w n0 则信号 x n 通过滤波器输出的频率响应为：
dw
Y e jw X e jw H e jw CX e jw e jwn0 , w1 w w2 其时域表达式： y n Cx n n0
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5.3 简单滤波器的设计
用Z平面零极点放置法设计简单滤波器的基本原理： 极点放置在要加强的频率点附近（单位圆内），极点 越靠近单位圆频率响应的峰值越高； 零点放置在将要减弱的频率附近，零点越靠近单位圆 频率响应的谷值越小，如放在单位圆上幅度为零。 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 一阶数字滤波器 一阶低通滤波器带宽的计算 二阶数字滤波器 低通到高通的简单变换
H ( z) 1 0.8 z 1 z 1 2 z 0.8 10 z 8
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(a) 输入波形xa t
(b) 实际输出波形 ya t
及理论波形sin7t（虚线）
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5.3.3 二阶数字滤波器

特点： 2个极点， 零点可以有1个或2个，也可以没有 且滤波器的零点和极点是共轭成对出现的 适当地放置零级点可得到各种滤波器：
Imaginary Part
0.5
0.5
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5 Real Part 1
(a) 0.95 1.5 1 0.5 0
(b) 0.95,-1 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1 w/
1.5
2
0
1 w/
2
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以上是低通滤波，以下是高通滤波：
1 a H1 z , a 0.95 za
2a w p arccos 2 1 a
一般极点很靠近单位圆，上式可以近似表示为 w p 1 a 式中， 称为3dB带宽。 推导方法：
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一阶低通滤波器的带宽
a 0.6 0.7 0.8 0.85 0.9 0.95
精确带宽
近似带宽
0.49 0.35 0.22
(c) -0.95 1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0
w/
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
w/
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零极点的作用结合起来考虑： 假设系统函数为
z b 1 bz 1 H3 z z a 1 az 1
第五章 数字滤波器的基本概念 及一些特殊滤波器
5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 理想数字滤波器 5.3 简单滤波器的设计 特殊滤波器 5.4 数字谐振器 5.5 数字陷波器 5.6 全通滤波器 5.7 最小相位滤波器 5.8 梳状滤波器 5.9 正弦波发生器
5.1 数字滤波器的基本概念
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图（a）（b）是二阶低通滤波器，图（c）（d）是二阶高通 滤波器，图（e）是带通滤波器。 二阶数字滤波器的系统函数一般表示式为
H z G
z b1 z b2 z p1 z p2
式中：G是常数，一般取G使幅度特性的最大值为1；p1 , p2 为共 b1 , b2 为共轭零点。 轭极点；


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3.数字滤波器的可实现性 要求系统因果稳定 设计的系统极点全部集中 在单位圆内。 要求系统的差分方程的系数或者系统函数的系数为 实数 系统的零极点必须共轭成对出现，或者 是实数。 4.数字滤波器的种类 现代滤波器 经典滤波器 滤波特性——数字高通、数字低通、数字带 通、数字带阻；

1 2
即1.94 1 r
2

2
1 1.88r 2 r 4 , 解得r 0.7
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最后得到带通滤波器的系统函数为2
H z 0.15
H z h n z n , 式中h n 是其单位脉冲响应
n 0 N 1
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5.2 理想数字滤波器
理想滤波器是一类很重要的滤波器，对信号进行滤波能 够达到理想的效果，但是他只能近似实现。设计的时候 可以把理想滤波器作为逼近标准用。
本节主要讲述： 5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类 5.2.2 理想滤波器的可实现性
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例5.2 假设二阶数字滤波器的系统函数为
H z
H e 1, w 4, 幅度下降 试确G和p使幅度特性满足： 2 jw 4 到最大幅度的 1 2 ，即 H e 1 2。 解：在 w 0 处，幅度为1，得到 G 2 j0 H e 1,即G 1 p 2 1 p 在 w 4 处，幅度为 1 2 ，得到
n n0
x(n)
0 -0.2 -50
0 n
50
由此图看出此理想低通物理不可实现
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理想滤波器可以分为低通、高通、带通及带阻滤波器。 它们的幅度特性如下：
H (e jw )
H (e jw )
w
0
H (e jw )

2
0
H (e jw )

高通
w
2
低通
0

带通
w
2
0
w

带阻
a 0.8, b 1, 0, 0.7
式中 0 a 1 ，以保证系统因果稳定； 幅度特性用下图讨论：
1 0.8 0.6 0.4
10 8 6 4 2
-1 -0.5 0 Real Part 0.5 1
Imaginary Part
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
0
0
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5.2.1 理想数字滤波器的特点及分类
理想滤波器的特点： 在滤波器的通带内幅度为常数（非零），在阻带中 幅度为零； 具有线性相位； 单位脉冲响应是非因果无限长序列。

理想滤波器的传输函数：
jwn0 Ce , w1 w w2 jw H e 0, 其它 式中，C和n是常数。
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实现方法 ——无限脉冲响应滤波器，简称IIR (Infinite Impulse Response)，它的单位脉冲响应为无限长， 网络中有反馈回路。其系统函数为：
H
z

r b z r
M
1 ar z r
r 1
r 0 N
——有限脉冲响应滤波器，简称FIR (Finite Impulse Response)它的单位脉冲响应为有限长，网络中没有 反馈回路。其系统函数为：
输入信号
输出信号，
幅度放大了C倍 时间延迟 n0
表示输出信号相对输入信号没有发生失真。
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假设低通滤波器的频率响应为 jwn0 e , w wc jw H e 0, wc w 式中， n0是一个正整数，称为通带截止频率。 其幅度特性和相位特性图形如下：
0.46
1 2
w 2是通带中心， 例5.3 设计一个二阶带通滤波器， 在 w 0, 两点，频率响应为零，在 w 4 9处，幅 度为 1 2 。 解：极点设计在通带中心w 2 ， j 2 jr ; 极点 p1,2 re 零点在 w 0, 处，即 z1 1和 z2 1 得系统函数 z 1 z 1 z 2 1 H z G G 2 2 z jr z jr z r
H (j w )
w

1
wc
w O c
wc w
wc O
w
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滤波器的单位脉冲响应为： 1 h n 2



H e jw e jwn dw e
jwn0
1 2
举例：假设 n0 5, wc 4
0.4 0.2

wc
wc
e
jwn
dw
sin n n0 wc