材料力学第6章弯曲变形
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1
第六章
西 南 科 技 大 学 土 木 工 程 与 建 筑 学 院 富 裕
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
dw M ( x) dx C dx EI
w
M ( x) dxdx C x D EI
弯矩方程
位移边界、连续光滑条件
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
13
6-4
内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力 F 作用下
的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。
ql w 计算支反力 q F 解： ①、M x x x 2 a b ql q2 2 2 弯矩方程 ②、EIw x x C B x 2 2 A Fb Fa x1 EI x1 , 0 x1 a Fb M1 x2 l l l Fb x2 F ( x2 a ) , a x2 l l M2 l ③、 挠曲线近似微分方程 Fb Fb EIw2 M 2 x 2 F ( x2 a ) M1 EIw1 x1 l l Fb 2 F Fb 2 EIw2 x2 ( x2 a )2 C2 EIw1 x1 C1 2l 2 2l 积分得 Fb 3 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C2 x 2 D2 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l 6 6l
11
6-3
桥式起重机的大梁和建筑中的一些梁都可以简化为简支梁，
梁的自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。
w q 2 ql q 2 ql 弯矩方程 M 解： ①、M x x ( x ) x x 2 2 2 2 ql q 2 A 挠曲线近似微分方程 ②、EIw x x 2 2 ql x ql q 2 ②、EIw EIw x x 2
w
a
A Fb l
C
x1
x2
边界条件： w 边界条件: w1 A 1 0 w Bw2 0 2 l 0 x x 连续条件： wC wC 连续条件: w1 x1 a w2 x2 a 光滑条件： wC wC 光滑条件: w1 x1 a w2 x2 a
§6-1 §6-2 §6-3
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的近似微分方程 用积分法求梁的变形
§6-4
§6-5 §6-6
用叠加法求梁的变形
简单超静定梁 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
F 2 x Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 Fl3 Fl 2 ， wB B w B 3EI 2 EI EIw
d 4
64
491 mm 4
B 0.00242 rad
wB 0.0805 mm
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
用积分法求弯曲变形
10
6-2
径向切削力 F = 200 N，镗刀杆直径
w
F
A
B
d = 10 mm，外伸长度 l = 50 mm。材料弹性模 量 E = 210 GPa。求截面 B 的转角和挠度。
积分得
EIw
F 2 x Flx C 2
x
l
B wB x
EIw
确定积分常数
F 3 Fl 2 x x Cx D 6 2
§ 6.1
工程中的弯曲变形问题
3
一、弯曲实例：
二、受力特征：
1、横向力作用。 2、力偶作用，力偶的矢量方向垂直于 轴向方向。
三、变形特征:
梁轴由直线变成曲线。
梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。
4
第六章
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
西 南 科 技 大 学 土 木 工 程 与 建 筑 学 院 富 裕
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
14
6-4
内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力 F 作用下
的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。
Fb 2 x1 C1 2l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l 确定积分常数 ④、求积分常数 EIw1
Fb 2 F x2 ( x2 a )2 C2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C2 x 2 D2 6l 6 EIw2
§6-4
§6-5 §6-6
用叠加法求梁的变形
简单超静定梁 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
12
积分法解题步骤：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 用整体平衡条件求出梁的支座反力； 建立坐标系，用截面法求出梁的弯矩方程； 对挠曲线近似微分方程积分两次； 利用位移边界、连续光滑条件确定积分常数； 确定转角方程和挠度方程； 求出指定截面的挠度和转角。
d 2w M ( x ) 2 dx EI
2 2
2
2 3
x1
x2
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
16
Pab( l b ) w F 确定转角、挠度的最值 Pab( l a ) ⑤、 A ， B a b 6 EIl 6 EIl C B x 2 A Fb ( l 2 b2 )3 Pbl wmax w1 x (maxb2 3 w l2 ) Fa x1 EI Fb 1 x2 9 3 EI9 3EIl l l Fb(3l 2 b2 ) Pb (3l 2 4b 2 ) wl / 2 4 wl / 2 48 EI 48 EI Fb 2 EIw1 x1 C1 当 F 接近右支座，即 b 很小时，有： 2l Fb 3 Fbl2 Fbl2 EIw1 x1 C1 x1 D1 wmax 0.0642 6l EI 9 3EI
1 Fb3 C1 C2 Fbl 6 6l D1 D2 0
F
b
B
EI
Fa l
x
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
15
Fb 2 F Fb 2 EIw2 x2 ( x2 a )2 C2 x1 C1 2l 2 2l Fb 3 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C2 x 2 D2 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l 6 6l Pab( l b ) 确定转角、挠度的最值 Pab( l a ) ⑤、 A ， B 1 Fb3 C1 C2 Fbl 6 EIl 6 EIl 6 6l 2 Fabl Pbl b Fabl a A , B D1 D2 0 wmax 6 EIl 3 EI 6 EIl 9
x 0 : ww 0 0， 0 0, A , A w 0 wA
CC0,0DD0 C 0, , 00 D
则转角、挠度方程分别为
代入数据， F = 200 N，l = 50 mm。E = 210 GPa， d = 10 mm， I 得
2 2
积分得
q
EI
B
l
ql 2
x
ql 2 q 3 ql 2 q 3 ql 3 EIw x x C EIw x x EIw 4 6 4 6 24 C 0, D 0 ql 3 q 4 ql 3 q 4 ql 3 EIw x x Cx D EIw EIw x x x 12 24 12 24 24
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第六章
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
西 南 科 技 大 学 土 木 工 程 与 建 筑 学 院 富 裕
§6-1 §6-2 §6-3
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的近似微分方程 用积分法求梁的变形
§6-4
§6-5 §6-6
用叠加法求梁的变形
简单超静定梁 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
M ( x) F (l x)
挠曲线近似微分方程为
EIw M ( x ) F ( l x ) Fx Fl
积分得
w
F
A
B
F 2 x Flx C EIw 2 F 3 Fl 2 x x Cx D EIw 6 2
x
l
B wB x
§ 6.3
1 d 2w M ( x ) w 2 ( x) dx EI
d 2w M ( x ) 2 dx EI
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第六章
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
西 南 科 技 大 学 土 木 工 程 与 建 筑 学 院 富 裕
§6-1 §6-2 §6-3
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的近似微分方程 用积分法求梁的变形
8
一、两次积分法
d 2w M ( x) 2 dx EI
边界条件 积分常数的计算连续条件 光滑条件
dw M ( x) dx C dx EI
w
M ( x) dxdx C x D EI
刚度校核 刚度条件的应用载荷设计 截面设计
二、刚度条件
w max w
max
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
9
6-2
镗刀在工件上镗孔，为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。
设径向切削力 F = 200 N，镗刀杆直径 d = 10 mm，外伸长度 l = 50 mm。材料 弹性模量 E = 210 GPa。求镗刀杆上安装镗刀头的截面 B 的转角和挠度。 镗刀杆简化为悬臂梁。如图建立 坐标系，任意横截面上的弯矩为
③、 确定积分常数
ql 3 5ql 4 ql 3 max w max A B wmax 24 EI 384 EI 24 EI D 03 x 0 , wA 0 3 4 4 C 0, D 0 ql 5ql ql ql 3 5ql w2 max C max wmax w x l /max x l , wB 0 24 EI 384 EI 384 EI 24 EI 24
§ 6.2
挠曲线近似微分方程
6
纯弯曲时：
1
M EI
w
M 0 w0
忽略剪力对变形的影响 : 1 M ( x) ( x) EI
三、挠曲线近似微分方程：
1 w ( x) (1 w 2 ) 3 2
M 0 w0
x
w 表示转角，在计算中单位为弧度，故 2 与 1 相比很小。
§ 6.2
挠曲线近似微分方程
5
一、基本概念：
挠曲线：变形后梁的轴线 挠度： 横截面形心在 梁轴方向的位移 转角：横截面绕中性轴转过的 角度
w
w
x
二、挠度与转角：
逆时针为正!
设挠曲线方程为： w w( x )
转角、挠度关系为： tan
dw dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
由于小变形，截面形心在 x 方向位移忽略不计!
EIw1
dw Pb 2 (3 2 为极值。设 a b，则 当 w/ 2 0 时， lw 4b ) l dx 48 EI
6-4
C
w
Faba b 0 3EIl
F
b
可见 0 的截面必然在AC 段内。
A Fb l
a
C
B
EI
Fa l
x
x
Fb ( l b ) l b wmax , 9 3EIl 3
第六章
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梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
dw M ( x) dx C dx EI
w
M ( x) dxdx C x D EI
弯矩方程
位移边界、连续光滑条件
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
13
6-4
内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力 F 作用下
的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。
ql w 计算支反力 q F 解： ①、M x x x 2 a b ql q2 2 2 弯矩方程 ②、EIw x x C B x 2 2 A Fb Fa x1 EI x1 , 0 x1 a Fb M1 x2 l l l Fb x2 F ( x2 a ) , a x2 l l M2 l ③、 挠曲线近似微分方程 Fb Fb EIw2 M 2 x 2 F ( x2 a ) M1 EIw1 x1 l l Fb 2 F Fb 2 EIw2 x2 ( x2 a )2 C2 EIw1 x1 C1 2l 2 2l 积分得 Fb 3 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C2 x 2 D2 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l 6 6l
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6-3
桥式起重机的大梁和建筑中的一些梁都可以简化为简支梁，
梁的自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。
w q 2 ql q 2 ql 弯矩方程 M 解： ①、M x x ( x ) x x 2 2 2 2 ql q 2 A 挠曲线近似微分方程 ②、EIw x x 2 2 ql x ql q 2 ②、EIw EIw x x 2
w
a
A Fb l
C
x1
x2
边界条件： w 边界条件: w1 A 1 0 w Bw2 0 2 l 0 x x 连续条件： wC wC 连续条件: w1 x1 a w2 x2 a 光滑条件： wC wC 光滑条件: w1 x1 a w2 x2 a
§6-1 §6-2 §6-3
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的近似微分方程 用积分法求梁的变形
§6-4
§6-5 §6-6
用叠加法求梁的变形
简单超静定梁 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
F 2 x Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 Fl3 Fl 2 ， wB B w B 3EI 2 EI EIw
d 4
64
491 mm 4
B 0.00242 rad
wB 0.0805 mm
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
用积分法求弯曲变形
10
6-2
径向切削力 F = 200 N，镗刀杆直径
w
F
A
B
d = 10 mm，外伸长度 l = 50 mm。材料弹性模 量 E = 210 GPa。求截面 B 的转角和挠度。
积分得
EIw
F 2 x Flx C 2
x
l
B wB x
EIw
确定积分常数
F 3 Fl 2 x x Cx D 6 2
§ 6.1
工程中的弯曲变形问题
3
一、弯曲实例：
二、受力特征：
1、横向力作用。 2、力偶作用，力偶的矢量方向垂直于 轴向方向。
三、变形特征:
梁轴由直线变成曲线。
梁：以弯曲变形为主要变形的杆件。
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第六章
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
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§ 6.3
用积分法求弯曲变形
14
6-4
内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力 F 作用下
的简支梁。讨论这一简支梁的弯曲变形。
Fb 2 x1 C1 2l Fb 3 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l 确定积分常数 ④、求积分常数 EIw1
Fb 2 F x2 ( x2 a )2 C2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C2 x 2 D2 6l 6 EIw2
§6-4
§6-5 §6-6
用叠加法求梁的变形
简单超静定梁 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
Y.FU, Dept. of Civil Engineering and Architecture, Southwest University of Science and Technology
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
12
积分法解题步骤：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 用整体平衡条件求出梁的支座反力； 建立坐标系，用截面法求出梁的弯矩方程； 对挠曲线近似微分方程积分两次； 利用位移边界、连续光滑条件确定积分常数； 确定转角方程和挠度方程； 求出指定截面的挠度和转角。
d 2w M ( x ) 2 dx EI
2 2
2
2 3
x1
x2
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
16
Pab( l b ) w F 确定转角、挠度的最值 Pab( l a ) ⑤、 A ， B a b 6 EIl 6 EIl C B x 2 A Fb ( l 2 b2 )3 Pbl wmax w1 x (maxb2 3 w l2 ) Fa x1 EI Fb 1 x2 9 3 EI9 3EIl l l Fb(3l 2 b2 ) Pb (3l 2 4b 2 ) wl / 2 4 wl / 2 48 EI 48 EI Fb 2 EIw1 x1 C1 当 F 接近右支座，即 b 很小时，有： 2l Fb 3 Fbl2 Fbl2 EIw1 x1 C1 x1 D1 wmax 0.0642 6l EI 9 3EI
1 Fb3 C1 C2 Fbl 6 6l D1 D2 0
F
b
B
EI
Fa l
x
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
15
Fb 2 F Fb 2 EIw2 x2 ( x2 a )2 C2 x1 C1 2l 2 2l Fb 3 Fb 3 F EIw2 x2 ( x2 a )3 C2 x 2 D2 EIw1 x1 C1 x1 D1 6l 6 6l Pab( l b ) 确定转角、挠度的最值 Pab( l a ) ⑤、 A ， B 1 Fb3 C1 C2 Fbl 6 EIl 6 EIl 6 6l 2 Fabl Pbl b Fabl a A , B D1 D2 0 wmax 6 EIl 3 EI 6 EIl 9
x 0 : ww 0 0， 0 0, A , A w 0 wA
CC0,0DD0 C 0, , 00 D
则转角、挠度方程分别为
代入数据， F = 200 N，l = 50 mm。E = 210 GPa， d = 10 mm， I 得
2 2
积分得
q
EI
B
l
ql 2
x
ql 2 q 3 ql 2 q 3 ql 3 EIw x x C EIw x x EIw 4 6 4 6 24 C 0, D 0 ql 3 q 4 ql 3 q 4 ql 3 EIw x x Cx D EIw EIw x x x 12 24 12 24 24
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第六章
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
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§6-1 §6-2 §6-3
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的近似微分方程 用积分法求梁的变形
§6-4
§6-5 §6-6
用叠加法求梁的变形
简单超静定梁 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
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M ( x) F (l x)
挠曲线近似微分方程为
EIw M ( x ) F ( l x ) Fx Fl
积分得
w
F
A
B
F 2 x Flx C EIw 2 F 3 Fl 2 x x Cx D EIw 6 2
x
l
B wB x
§ 6.3
1 d 2w M ( x ) w 2 ( x) dx EI
d 2w M ( x ) 2 dx EI
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第六章
梁的弯曲变形
—— 变形分析和刚度设计
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§6-1 §6-2 §6-3
工程中的弯曲变形问题 挠曲线的近似微分方程 用积分法求梁的变形
8
一、两次积分法
d 2w M ( x) 2 dx EI
边界条件 积分常数的计算连续条件 光滑条件
dw M ( x) dx C dx EI
w
M ( x) dxdx C x D EI
刚度校核 刚度条件的应用载荷设计 截面设计
二、刚度条件
w max w
max
§ 6.3
用积分法求弯曲变形
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6-2
镗刀在工件上镗孔，为保证镗孔精度，镗刀杆的弯曲变形不能过大。
设径向切削力 F = 200 N，镗刀杆直径 d = 10 mm，外伸长度 l = 50 mm。材料 弹性模量 E = 210 GPa。求镗刀杆上安装镗刀头的截面 B 的转角和挠度。 镗刀杆简化为悬臂梁。如图建立 坐标系，任意横截面上的弯矩为
③、 确定积分常数
ql 3 5ql 4 ql 3 max w max A B wmax 24 EI 384 EI 24 EI D 03 x 0 , wA 0 3 4 4 C 0, D 0 ql 5ql ql ql 3 5ql w2 max C max wmax w x l /max x l , wB 0 24 EI 384 EI 384 EI 24 EI 24
§ 6.2
挠曲线近似微分方程
6
纯弯曲时：
1
M EI
w
M 0 w0
忽略剪力对变形的影响 : 1 M ( x) ( x) EI
三、挠曲线近似微分方程：
1 w ( x) (1 w 2 ) 3 2
M 0 w0
x
w 表示转角，在计算中单位为弧度，故 2 与 1 相比很小。
§ 6.2
挠曲线近似微分方程
5
一、基本概念：
挠曲线：变形后梁的轴线 挠度： 横截面形心在 梁轴方向的位移 转角：横截面绕中性轴转过的 角度
w
w
x
二、挠度与转角：
逆时针为正!
设挠曲线方程为： w w( x )
转角、挠度关系为： tan
dw dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
由于小变形，截面形心在 x 方向位移忽略不计!
EIw1
dw Pb 2 (3 2 为极值。设 a b，则 当 w/ 2 0 时， lw 4b ) l dx 48 EI
6-4
C
w
Faba b 0 3EIl
F
b
可见 0 的截面必然在AC 段内。
A Fb l
a
C
B
EI
Fa l
x
x
Fb ( l b ) l b wmax , 9 3EIl 3