几种常见的分布教材
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2018/8/12 11
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
2018/8/12 12
几种常见的分布
2018/8/12
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系 大数定理、中心极限定理
2018/8/12 7
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
2018/8/12 8
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
20
中心极限定理
定义：在客观实际中有一些随机变量，它们是由大量的随机因素的综合影响所 形成的，而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机 变量往往近似地服从正态分布。
2018/8/12
21
Fra Baidu bibliotek
中心极限定理
2018/8/12
22
2018/8/12 5
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
2018/8/12 6
五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
定义：
应用：假设检验。
2018/8/12 18
各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布 当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。 在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
正态分布
19
2018/8/12
大数定理
定义：在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一 个稳定值；同时在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有 稳定性。当次数很大时，算术平均值接近数学期望；频率以概率收敛于事 件的概率。
引申：贝努利定理、小概率事件原理
2018/8/12
2018/8/12
2
一、正态分布 (Normal distribution)
E[X]=A D[X]=B2
应用：如果一个量是由许多微小的独立随机因影响的结果，就可以认为这个量 具有正态分布。在自然现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。
2018/8/12 3
二、均匀分布(Uniform distribution)
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
2018/8/12 13
十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
2018/8/12 9
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
2018/8/12 10
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2018/8/12 4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
2018/8/12 15
十四、卡方分布
定义：若 k 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，则随机变 量： 称为自由度为k的卡方分布，记作：
应用：常用于假设检验和置信区间的计算。
2018/8/12
K
2K
16
十五、F分布
F分布
定义：
应用：假设检验。
2018/8/12 17
十六、t分布
t分布
应用：产品质量检测等。（注：在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分 布近似描述不合格品个数。）
2018/8/12 14
十三、泊松分布（Poisson distribution）
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
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几种常见的分布
2018/8/12
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系 大数定理、中心极限定理
2018/8/12 7
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
2018/8/12 8
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
20
中心极限定理
定义：在客观实际中有一些随机变量，它们是由大量的随机因素的综合影响所 形成的，而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的，这种随机 变量往往近似地服从正态分布。
2018/8/12
21
Fra Baidu bibliotek
中心极限定理
2018/8/12
22
2018/8/12 5
四、对数正态分布
定义：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数 正态分布。
应用：金融保险业、投资收益计算等。
2018/8/12 6
五、柯西分布(Cauchy distribution)
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
定义：
应用：假设检验。
2018/8/12 18
各种分布之间的关系
Gamma分布与指数分布、正态分布 当gamma分布的形状系数k为正整数时，gamma分布可看作k个独立的指数分布 之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。 在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
正态分布
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2018/8/12
大数定理
定义：在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一 个稳定值；同时在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有 稳定性。当次数很大时，算术平均值接近数学期望；频率以概率收敛于事 件的概率。
引申：贝努利定理、小概率事件原理
2018/8/12
2018/8/12
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一、正态分布 (Normal distribution)
E[X]=A D[X]=B2
应用：如果一个量是由许多微小的独立随机因影响的结果，就可以认为这个量 具有正态分布。在自然现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。
2018/8/12 3
二、均匀分布(Uniform distribution)
十一、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：射击比赛等。
2018/8/12 13
十二、超几何分布
定义：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所 得次品数X=k，是一个随机变量：
2018/8/12 9
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
2018/8/12 10
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2018/8/12 4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
2018/8/12 15
十四、卡方分布
定义：若 k 个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，则随机变 量： 称为自由度为k的卡方分布，记作：
应用：常用于假设检验和置信区间的计算。
2018/8/12
K
2K
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十五、F分布
F分布
定义：
应用：假设检验。
2018/8/12 17
十六、t分布
t分布
应用：产品质量检测等。（注：在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分 布近似描述不合格品个数。）
2018/8/12 14
十三、泊松分布（Poisson distribution）
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。