专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题(解析版)

一．方法综述

向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题.

二．解题策略

类型一利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题

【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（）A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

∵,如图设N为的中点：即，∴，

又双曲线的实轴长为，

∴设则=x+，在直角三角形中，由勾股定理得：

=4=80，解得x=,

所以, 则实数=3,

故选：C．

【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此设运用勾股定理算出与，得到结论．

【举一反三】

1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

设，则

由椭圆的定义，可以得到

,

在中，有，解得

在中，有

整理得，

故选C项.

2.已知双曲线

22

22

:1(0,0)

x y

E a b

a b

-=>>的右顶点为A，抛物线2

:8

C y ax

=的焦点为F．若在E的渐近

线上存在点P，使得AP FP

⊥，则E的离心率的取值范围是（）

A ． ()1,2

B ． 1,4⎛ ⎝⎦

C ． ,4⎡⎫

+∞⎪⎢⎪⎣⎭

D ． ()2,+∞ 【答案】B

【解析】由题意得，()(),0,2,0A a F a ，设00,

b P x x a ⎛

⎫

⎪⎝⎭

，由AP FP ⊥，得22

20020320c AP PF x ax a a

⋅=⇒-+=，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，

即22

2

222

2994209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则14

e <≤，故

选B ．

【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，

即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题

【例2】过双曲线22221x y a b

-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222

x y a +=的切线，切点为M ．直

线FM 交抛物线2

4y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 1【答案】B

()()

2224244c c a a c a --+=+，变形可得22c a ac -=，两边同除以2a ，有210e e --=，所以15

2

e +=（负值已经舍去），故选B ．

【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值． 【举一反三】

1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、

两点，满足，若，则

（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

因为，所以,因为、共线，所以,

,解得

,又，所以，选B.

2.已知,,A B P 为双曲线2

2

14y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则2

2

4

n m +的最小值为（ ）

A ． 8

B ． 4

C ． 2

D ． 1 【答案】B

【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程

【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量

()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线

C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转

4

π后得到点的轨迹是曲线22

2x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）

A ． 1xy =-

B ． 1xy =

C ． 2

2

2y x -= D ． 2

2

1y x -=

【答案】A