完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式的原型是222

()2a b a ab b ±=±+.我们在充分理解它的基础上，还要熟

悉它的变形式:

① 222()2a b a b ab +=+- 2()2a b ab =-+

② 2222()()2()a b a b a b ++-=+

③ 22

()()4a b a b ab +--=

一、完全平方公式中系数的运用

例1 如果多项式24x kx ++是一个完全平方式，则k 的值是多少?

二、完全平方公式在求值中的运用

例2 已知。13a a +

=-.求: (1) 221a a

+; (2)21()a a

-的值

例3 已知2

310x x -+=，求2

421x x x ++的值.

四、完全平方公式在因式分解及求位中的运用

例4 已知1a b +=，求

221122a ab b ++的值.

五、完全平方公式在求差法中的运用

例5 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，试比较222a b c --和2bc 的大小.

六、拆项、配方构造完全平方公式在证明中的运用

例7 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，满足222166100a b c ab bc --++=，求证: 2a c b +=.

七、配方法构造完全平方公式求值的运用

例8 已知: 28,16a b ab c +==+，求2016(1)

a b c -+-的值.

八、添项法构造完全平方公式分解因式的运用

例9 分解因式: 44x +.

计算下列各整式乘法。

①位置变化：22()()x y y x --+

②符号变化：2(32)a b --

③数字变化：2197

④方向变化：2

(32)a -+

⑤项数变化：2(1)x y +- ⑥公式变化22

(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++

九、配方法构建完全平方公式在证明中的运用

例10 已知a 、b 、c 为三角形的三边，且2220a b c ab bc ac ++---=，求证: ABC ∆为等边三角形. 平方差公式22

()()a b a b a b +-=-是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式。

策略一、直接运用平方差公式

例1 计算(32)(23)a b b a -+--

策略二、连续运用平方差公式

例2 计算241111()()()()41622a a a a ++

-+

策略三、综合运用乘法公式

例3 计算(26)(26)a b c a b c +-+-++

策略四、逆用平方差公式

例4 计算22(6)(6)88a a b b +--

例5 计算222222221009998974321-+-+

+-+-

例6 计算：226.985149 6.98⨯-⨯

例7 证明8634-能被17整除。

策略五、构造后用平方差公式

例8 计算20081992⨯

例9 计算：（1）29998；（2）248512(21)(21)(21)(21)

(21)+++++

例10 计算

22005200520062004

-⨯

综合整理

一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a 、b 的代数式表示）．

计算：

2244()()()()y x x y x y x y ---+++ 22()()x y z x y z -+-+-

已知a 、b 为自然数，且40a b +=，（1）求22a b +的最大值；（2）求ab 的最大值。

已知：4,2x y xy +==，求：①22x y +； ②44

x y +； ③2()x y -

225,2,4xy x y x y x y x y

++

=++已知满足求的值。

1．=-+=+-++b

a b b a b a ,0524a 22则

3.(1)(2)(3)(4)P x x x x =++++，(1)(2)(3)(4)Q x x x x =----，则Q P -的结果为

将一张矩形大铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为m cm 的大正方形，两块是边长都为n

cm 的小正方形，五块是长、宽分别是m cm ，n cm 的小矩形，且m n >.

(1)用含m ，n 的代数式表示切痕的总长为 cm:

(2)若每块小矩形的面积为34.5cm 2，四个正方形的面积和为200cm 2 ,试求m n +的值.

1. 新制作的渗水防滑地板是形状完全相同的长方形.如图，三块这样的地板可以拼成一个大的长方形.如果大长方

形的周长为150cm ，那么一块渗水防滑地板的面积是( ).

A. 2450cm

B. 2600cm

C. 2900cm

D.2

1350cm

2. 如果22()()4a b a b +--=，那么一定成立的是( ).

A. a 是b 的相反数

B. a 是b -的相反数

C. a 是b 的倒数

D. a 是b -的倒数

3. 如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+= .

4. 已知4a b -=，240ab c ++=，则a b c ++= .