对数函数图像及其性质题型归纳.doc

对数函数及其性质题型总结

1．对数函数的概念

(1) 定义：一般地，我们把函数＝ log a ( ＞ 0，且≠1) 叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0 ，＋∞ ) ．

(2) 对数函数的特征：

log a x的系数： 1

特征log a x的底数：常数，且是不等于1的正实数

log a x的真数：仅是自变量x

判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．

比如函数 y＝log7x 是对数函数，而函数y＝－3log 4x和y＝log x2 均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．

f ( x)＝( a2－ a＋1)lo

g ( a＋ 1) x是对数函数，则实数a＝__________．

【例 1－ 1】函数

(1) 图象与性质

a＞1 0＜a＜ 1

图

象

(1) 定义域 { x| x＞0}

(2) 值域 { y| y R}

性(3) 当 x＝1 时， y＝0，即过定点(1,0)

质(4) 当x ＞ 1 时，＞ 0；当 0＜＜(4) 当x ＞1 时，＜0；当 0

y x y

1 时，y＜ 0 ＜ x＜1时， y＞0

(5) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数(5) 在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数

性质（ 6）底数与真数位于 1 的同侧函数值大于0，位于 1 的俩侧函数值小于 0

性质（ 7）直线 x＝ 1 的右侧底大图低

谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．＞ 1 时，函数单调递增；0＜＜ 1 时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的

a a

关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．

题型一：定义域的求解求下列函数的定义域．

例 1、 (1) y＝log5(1－ x)；(2) y＝log(2x－1) (5 x－ 4) ；

(3)y log0.5 (4 x 3) ．

在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般

地，判断类似于y＝log a f(x)的定义域时，应首先保证 f ( x)＞0．

题型二 : 对数值域问题

对数型函数的值域的求解

(1) 充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．

(2) 对于形如 y ＝ log a f ( x )( a ＞ 0，且 a ≠1) 的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成 y ＝ log a u ， u ＝f ( x ) 这两个函数； ②求 f ( x ) 的定义域； ③求 u 的取值范围；

④利用 y ＝ log a u 的单调性求解．

注意： (1) 若对数函数的底数是含字母的代数式 ( 或单独一个字母 ) ，要考查其单调性，就必

须对底数进行分类讨论．

(2) 求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．

例2.求下列函数的值 域 .

(1) f ( x ) log 2 x , x

[ 2,10];

(2) f ( x ) log 2 ( x 2 2 x 3), x [ 0, 3

];

2

(3) f ( x ) l og 2 ( x 2 4 x

5)

变式1：若函数y log 2 ( ax 2

ax 1 )的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围。

4 变式 2：若函数 y log 2 (ax

2

ax

1

)的值域为 R ，求实数 a 的取值范围。

4

变式 3：若函数 f x log a x 0

a 1 在区间 a,2 a 上的最大值是最小值的 3倍, 求a 的值.

题型三：定点问题

例 3：求下列函数恒经过哪些定点

1、 f ( x) log a ( x 2 1) 2

2、 y =l og a ( 4a - x ) +1恒过﹙ 4， 1﹚，求a 的值 .

3、若函数 y ＝ log (

＋)＋(

＞ 0，且 a ≠1) 的图象恒过定点 (3,2) ，则实数 b ， c 的值分别为

a

__________ ．

题型四 : 对数单调性问题

判断函数

y ＝ log a ( x ) 的单调性的方法

函数 y ＝ log a ( ) 可看成是

y ＝ log a 与 u

＝ ( )

f

f x

u

f

x

两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是， 在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．

例4：求 y

log 1 ( x 2 4x 3)单调区间

3

变式 1.求函数 f x lg ( x x 2 )的单调区间

归纳：形如y ＝ log f ( x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝ log f ( x)的单调性与函数＝

a a

f ( x)( f ( x)＞0)的单调性，当a＞1时相同，当0＜a＜1 时相反．

练习 . 已知函数 y log 4 ( 2 x 3 x 2 )

(1)求函数的定义域;

(2 )求函数的单调区间;

(3)求函数的值域 .

题型五 : 对数图像问题

作出下列函数的图象：

(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.

例 5 已知函数y＝ log a( x＋c)( a，c为常数。其中a＞ 0，a≠1) 的图象如图，则下列结论成立的

是（）

A．a＞ 1，c＞ 1 B．a＞ 1,0 ＜c＜1

C． 0＜a＜1，c＞ 1 D ． 0＜a＜ 1,0 ＜c＜1

变式1：已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是( )

A．B． C ． D ．

题型六：对数不等式解法例 6. 解下列不等式

(1)log 1 ( 3 x 4) 1

2

( 2 )log 1 (3 x 4) 2

2

( 3)log 1 ( 3 x 4 ) log 1 ( 3 x )

2 2

变式 1：解不等式: log a (2x 1) 2,(a 0,a1). 题型七 : 对数不等式综合问题

例1、定义域为 R的偶函数 f ( x)在 [0, )上是增函数

1

且 f ( ) 0,求不等式 f (log 4 x)0的解集。

例 2、已知函数 f ( x)＝log a 1x

(a＞0，且a≠1)．

1x

(1)求函数 f ( x)的定义域；

(2)判断函数 f ( x)的奇偶性；

(3)求使 f ( x)＞0的 x 的取值范围．

f ( x 1), x 2

，则 f (log 3 2) . 变式 1：已知函数f (x)

2

3 x , x

题型七

(1)、log7 (log 3 x ) 1

: 对数方程问题

(2)、 lgx+lg(x-3)=1

(1)、log33.4与 log34.3 ;log 0.57与 log 0.59

3

1

题型八：比较大小

、与 3

(2) log a log a

、已知 4

log n

4

0,

试确定的大小关系(3) log m m, n,1