二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一:面积问题

【例１】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4）,交x 轴于点Ａ(3，0），交y 轴于点Ｂ． (1）求抛物线和直线A Ｂ的解析式； (2)求△C ＡB 的铅垂高CD 及S △CAB ;

（３）设点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P ，使S △ＰＡＢ＝

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S △C ＡB

,若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由.

【变式练习】

1.如图,在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2,0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转12０°，得到线段ＯB . （1）求点Ｂ的坐标；

（２)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； (３）在(２)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在，求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.

(4）如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由．

２．如图,抛物线y = ax 2

+ ｂx + 4与x 轴的两个交点分别为A (－４,0）、Ｂ（2,0)，与

图2

y 轴交于点C ,顶点为D ．Ｅ（１，2)为线段BC 的中点,B Ｃ的垂直平分线与ｘ轴、y 轴分别交

于F 、Ｇ.

(１)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； (３)若点K 在x 轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时， △ＥF Ｋ的面积最大？并求出最大面积．

３．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B,抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过Ａ、Ｂ、C （１，0）三点.

(1)求抛物线的解析式;

(２）若点D 的坐标为（-1，0）,在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔAＢO 与ΔＡDP 相似，求出点P 的坐标；

（3)在(２)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E ，使ΔADＥ的面积等于四边形ＡP ＣE 的面积?如果存在，请求出点Ｅ的坐标;如果不存在,请说明理由．

C E

D G

A

x

y O

B F

题型二:构造直角三角形

【例２】如图,已知抛物线y=ａｘ2+bx+ｃ(ａ≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1,0)、C(0,-3）两点,与ｘ轴交于另一点Ｂ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点Ｍ的坐标;

(3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PＣB＝9０º的点P的坐标.

【变式练习】

1．如图,抛物线y=与ｘ轴交于A、Ｂ两点（点A在点B的左侧），与ｙ轴交

于点C.

（1)求点A、B的坐标;

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACＢ的面积时，求点D 的坐标;

（３)若直线l过点E(4，0），M为直线ｌ上的动点，当以A、Ｂ、M为顶点所作的直角三角

形有且只有三个时,求直线l的解析式

. E

2.在平面直角坐标系x Ｏy 中,已知抛物线y=2

(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于Ａ、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与ｙ轴交于点C,其顶点为Ｍ，若直线MC 的函数表达式为3y kx =-，与

x 轴的交点为Ｎ，且COS∠BＣ

。 (1）求此抛物线的函数表达式；

(２)在此抛物线上是否存在异于点Ｃ的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形?若存在，求出点P 的坐标:若不存在，请说明理由； （3)过点A 作x 轴的垂线，交直线ＭC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度？

３. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y ＝k （x ２

+x ﹣1)的图象交于点Ａ(１，k)和点B(﹣1，﹣k)．

(１）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式;

（２）要使反比例函数和二次函数都是y 随着ｘ的增大而增大,求k 应满足的条件以及x 的取值范围；

(3）设二次函数的图象的顶点为Ｑ，当△AＢQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值

4.如图(１),抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ，E (0，b ）为ｙ轴上一动点,过点Ｅ的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

（1)求点Ａ的坐标;

(

２）当b =0时(如图（２))，ABE 与ACE 的面积大小关系如何?当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么?

（３）是否存在这样的ｂ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形,若存在,求出b ;若不存在,说明理由.

ﻬ题型三：构造等腰三角形

【例3】如图,已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0)与x 轴交于点A (1,０）和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．

(1）求抛物线的解析式；

(2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△A ＣQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（３）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Ｐ的坐标;若不存在，请说明理由．

y

x

C

B

A

O

E y

x

C

B

A

O

E 第26题

图（1）

图（2）