-系统对任意激励的响应-卷积积分

注意，δ(t-a)是一个沿着时间轴正向移动了a时间 的单位脉冲。
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具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉 冲)，都可用来作为一个脉冲，称为δ函数。数学 上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和 无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用 中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若激励 的持续时间同系统的固有周期(T=1／f)相比非常 的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。δ函数的 单位为s-1，在其他方面的情况，δ函数将有不同 的量纲。
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1．脉冲响应 一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响
应，称为系统的脉冲响应。 宽度T0、高度l／T0的矩形脉冲，如图所示。
这个矩形脉冲的面积为1，为了得到单位脉冲， 使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1，在 极限情况下，单位脉冲的数学定义为
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这个脉冲发生在t=O处，如图所示。如果单位脉冲 发生在t=a处，则它可由下式定义
在区间0-≤t≤O+上积分一次，有
同理，上面方程的右端为 ，左端的第二项为零， 而第三项可以忽略不计，得
可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使
速度产生瞬时变化，则可以认为在t=0时作用的脉
冲力等效于初始位移x(0)=0和初始速度
的初
始干扰作用， .
所以方程 等价于初始条件引起的自由振动，即
其解为
在区间0-≤t≤O+上积分两次，有
因为
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则方程
的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因 为位移x为有限值，所以方程左端第二项和第三项 的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近 似取为零。考虑到x(O-)=0，则有
也就是说，在脉冲力 作用的极短时间内，质量 m还来不及发生位移。
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现在，只对方程
上次内容回顾：等效粘性阻尼、系统对
周期激励的响应
讲述的内容
第三章 强迫振动 3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分
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3．8系统对任意激励的响应·卷积积分
3．7节讨论了周期激励作用下系统的响应。在 不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周期 振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期函 数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间间 隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢挂 钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结构 的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击波 对房屋建筑的作用；精密仪表在运输过程中包装 箱速度(大小与方向)的突变等。
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如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量 ，则对应 的脉冲力可方便地写成
式中 的单位为N·s。 现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力
的响应，系统振动微分方程为
假定系统在脉冲力 作用之前处于静止，即
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由于 作用在t=0处，对于t≥0+，系统不再受脉 冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对于 零初始条件的响应，将变成t=O+时的初始条件引 起的自由振动。 为了找出t=0+时的初始条件，对方程
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令△τ→0，并取极限，上式表示为积分形式
上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积 分，它将响应表示成脉冲响应的叠加。这里h(t-τ) 是将方程中h（t）的t用t-τ代替后得到的。因而， 将方程中h（t）的t换成t-τ后代入上面方程，得到
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上式表示单自由度有阻尼的质量—弹簧系统对任意 激励F(t)的响应。要注意的是，上面方程是在零初 始条件下，对于输入F(t)得到的系统输出x(t)。若 在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始 位移和初始速度为 则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即
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式 积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间t-τ，也 可以移动激励函数F(t)来代替脉冲响应的移动而导 出一个相似的式子。令t-τ=u则-dr=du，此外考 虑式中的积分限界，当τ=0时，u=t，当τ=t时， u=0，将其代入式中，得到
上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的τ和式 中的u只是积分变量，可见卷积积分对于激励F(t)和 脉冲响应h(t)是对称的，即
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有多种方法可以确定系统对任意激励的响应， 这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅 里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令 周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以， 实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励 视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积 分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都 用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的 解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振 动。
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在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而 只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将 按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即 使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持 续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包 括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的 响应，周期激励是任意激励的一种特例。
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令 ，则系统受单位脉冲力F(t)=δ(t)作用，其响 应称为脉冲响应，即
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2．卷积积分 利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函数
F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用 脉冲序列近似地代替激励F(t)，如图所示，脉冲的强 度由脉冲的面积确定，在任意时刻t=τ处，相应的时 间增量为△τ，有一个大小为F(τ)△τ的脉冲，相应的 力的数学表达为F(τ)△τδ(t-τ)。因为在t=τ处对脉冲 的响应为h(t-τ)，所以脉冲F(τ)△τδ(t-τ)的响应为其 单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即F(τ)△τh(t-τ)。 通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为
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卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。 虽然式 不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。
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例3．8-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：
试用卷积积分计算其响应。 解：在方程
中，令ζ=0，ωd=ωn，则
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为当t<O时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式
上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率ω 进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减； 第二项是按固有频率ωn进行的自由振动，只要振 动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。 应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动可同时得出。