一种求解任意信号激励下一阶电路全响应的新方法

第 5卷第 1期 2 0 0 9年 1月
沈阳工程学院学报 (自然科学版 ) Journal of Shenyang Institute of Engineering (Natural Science)
Vol15 No11 Jan. 2009
一种求解任意信号激励下一阶电路全响应的新方法
朱晓萍 ,王秀平 ,邹 毅
一阶线性动态电路 ,简称一阶电路. 目前 ,国内外有关
教材及相关文献在对此类电路的分析中 ,都介绍了一
般分析方法 ———三要素法 ,其表达式为
f ( t) = fw ( t) + [ f ( 0+ ) - fw ( 0+ ) ] e- t/τ
(1)
式中 , fw 、f ( 0+ ) 、τ分别是电路全响应 f ( t) 的稳态分量 、
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沈阳工程学院学报 (自然科学版 )
第 5卷
∫ i″L ( t) = e- t/τ k″et/τ g″( t) d t +
∫ [ iL ( 0+ ) - ( k″et/τ g″( t) d t) | 0 + ] e- t/τ =
∫ e- t/3 2 et/3 sin ( t + 30) d t + 3
(6)
dt
收稿日期 : 2008 - 09 - 01 作者简介 : 朱晓萍 (1960 - ) ,女 ,山东栖霞人 ,教授 ,硕士 ,主要从事电工理论教学及计算机控制理论与技术研究.
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具有很强的概括能力和其他方法无法比拟的优点.
2) 在使用通用公式时 ,先用戴维宁定理将电路化
简为或串联电路 ,对应的电路微分方程是 d iL ( t) + dt
1 τ
iL
(
t)
= kg ( t) 或
duC ( t) dt
+
1 τ
uC
( t)
= kg ( t) ,然后用
通用公式计算响应 iL ( t) 或 uC ( t) ,最后通过分流或分 压公式再求其他电压或电流的响应.
dt
+
h
C ( t)
=
∫ e- t/τ ket/τ g ( t) d t + C e- t/τ
( 10)
将式 ( 10) 与式 ( 4) 对照 ,可得
∫ iLw ( t) = e- t/τ ket/τ g ( t) d t
( 11)
[ iL ( 0+ ) - iLw ( 0+ ) ] e- t/τ = C e- t/τ
图 1 RL 电路
开关 S 后 ,电路的微分方程为
τd iL ( t) dt
+ iL ( t)
= k′1 g ( t)
(2)
即
d iL ( t) dt
+
1 τ
iL
(
t)
= kg ( t)
(3)
其中 ,τ = L /R, k′1 = k1 /R, k = k′1 /τ = k1 /L,可得其解
为式 ( 1) ,即
积分再求其解. 首先设函数 h ( t) 并乘方程 ( 3) ,得
h ( t) d iL ( t) dt
+
1 τ
h
(
t)
iL
( t)
= kh ( t) g ( t)
(5)
令方程 ( 5) 等于一个微分 ,即
h ( t) d iL ( t) dt
+
1 τ
h
(
t)
iL
(
t)
=
kh ( t) g ( t) = d [ h ( t) iL ( t) ]
dt
由方程 ( 7) 可得
dh ( t) h ( t)
=
dt τ
对上式方程两边积分 ,得
h ( t) = et/τ
(9)
由方程 ( 8) 可得
d [ h ( t) iL ( t) ] = kh ( t) g ( t) d t 对上式方程两边积分 ,得
∫ iL ( t)
=
h
1 ( t)
kh
(
萍 ,等 :一种求解任意信号激励下一阶电路全响应的新方法
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由方程 ( 6) 可得
d [ h ( t) iL ( t) ] dt
= h ( t)
d iL ( t) dt
+
1 τ
h
(
t)
iL
(
t)
(7)
d [ h ( t) iL ( t) ] = kh ( t) g ( t)
(8)
初始值和时间常数 , 称为一阶电路全响应的三要素 ;
fw ( 0+ ) 是稳态分量的初始值. 在直流信号 、正弦信号 激励下 , 3个要素容易求得 , 并可以直接应用公式 ( 1)
求得电路的全响应. 如果激励是除直流量 、正弦量以外 的其他任意信号 ,例如激励为 k1 e- at sin (ωt +φ) + k2 t + k3 t2 ,其公式 ( 1) 就不能直接应用了. 可见 , 公式 ( 1) 的 应用具有局限性. 文献 [ 2 ] 虽然在此基础上进行了扩
∫ iLw ( t) = e- t/τ ket/τ g ( t) d t =
∫ 1 e- t/τ
L
et/τ ( c1 t + c2 t2 ) d t
=
τ
[(L
c1τ + 2c2τ2 )
+ ( c1
-
2c2τ) t + c2 t2 ]
[ iL ( 0+ )
-
iLw
(0+ )
]
e-
t τ
=
∫ [ iL ( 0+ ) - ( ket/τ g ( t) d t) | 0 + ] e- t/τ =
τ
[(L
c1τ + 2c2τ2 )
+ ( c1
-
2c2 t2 ) ] +
[ iL ( 0+ )
τ2
+ L ( c1
-
2 c2τ)
]
e-
t τ
3. 2 激励为 k1 g ( t) =U s e - a t +U sm sin (ω t +φ) 电路如图 2所示 ,已知 us = e- 2t + 2 sin ( t + 30 ) V ,
∫ e- t/3 1 et/3 d t + 3
∫ [ 0 - (
1 et/3 e- 2t d t) 3
| 0 + ] e- t/3
=
- 0. 2e- 2t + 0. 2e- t/3
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( 12)
式 ( 11) 为方程 ( 3) 的特解 , 即任意激励下求稳态
分量 iLw ( t) 最直接的一般表达式. 式 ( 12) 是方程 ( 3) 激励为零时方程的通解 ,即暂态分量.
于是 ,对于任意信号激励下一阶电路全响应的通
用公式可以写成 f ( t) = fw ( t) + [ f ( 0+ ) - fw ( 0+ ) ] e- t/τ =
[ 0. 632 sin ( t - 41. 56) + 0. 421e- t/3 ] =
- 0. 2e- 2t + 0. 621e- t/3 + 0. 632 sin ( t - 41. 56)
可见 , 对于上述信号激励电路时 , 使用通用公式 ( 13) 求解电路响应既方便 、又容易 , 而用传统三要素
[ iL ( 0+ )
-
1 (L
c1τ2
+
2 c2τ3
]
e-
t τ
于是全响应为
iL ( t) = iLw ( t) + [ iL ( 0+ ) - iLw ( 0+ ) ] e- t/τ =
∫ e- t/τ ket/τ g ( t) d t + [ iL ( 0+ ) -
∫ ( ket/τg ( t) d t) | 0 + ] e- t/τ =
法或复频域方法求电路响应是很麻烦的 , 且不容易求 解正确 [ 1 - 8 ] .
4 结束语
由以上分析及举例可以得出 :
1) 使用通用公式 ( 13) 可以直接求解任意信号激
励下一阶电路的全响应 , 比直接解电路的微分方程或
复频域方法都来得简单 、直接 、快速 , 同时它不必考虑
电路在怎样的函数激励下 ,可以直接求解电路的响应 ,
∫ [ 0 - (
2 et/3 sin ( t + 30) d t) 3
| 0 + ] e- t/3
=
0. 632 sin ( t - 41. 56) + 0. 42e- t/3
因此 ,可得换路后电路全响应为
iL ( t) = i′L ( t) + i″L ( t) = ( - 0. 2e- 2t + 0. 2e- t/3 ) +
∫ e- t/τ ket/τ g ( t) d t + [ f ( 0+ ) -
∫ ( ket/τ g ( t) d t) | 0 + ] e- t/τ