空间直角坐标系

向量 a的模 | a || | | a | 由上可知： 若b a , 则向量 b || a
0.5a
定理 设向量 a 0，那末向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯 一的实数 ，使 b a .
数与向量的乘积符合下列运算规律：
5. 坐标表示下的向量运算
a x a y az 所以 bx by bz
若a // b , 则存在一个数 , 使得 a b , 证（5 ） 即 a x i a y j az k (bx i by j bz k ) a x bx , a y by , az bz
第一节 空间直角坐标系与向量代数
一、空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z
竖轴
即用右手握着z轴,当右手 四指从x轴正向以 的 2 角度转向y轴正向时, 大拇指的指向就是 z轴的正向. o点称为坐标原点.
x 横轴


o定点
y
纵轴
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中,任意两条坐标轴所 确定的平面称为坐标面. 三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部 分为一个卦限 Ⅲ
反之,也成立.
四、小结
空间直角坐标系（轴、面、卦限） （注意它与平面直角坐标系的区别） 向量的概念 （注意与标量的区别）
向量的加减法 （平行四边形法则，三角形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向） 向量的坐标表示 空间两点间距离公式
（注意它与平面两点间距离的区别）
E ( 2,3,4) , F ( 2,3,4) , G ( 3,9,1), H ( 2,3,4) .
2. 在空间直角坐标系中，指出下列点在哪个坐标面上？
A1 (1,0,3) , A2 ( 3,7,0) ,
A3 (0,7,2) .
3. 在空间直角坐标系中，指出下列点在哪个坐标轴上？
B1 (0,3,0) , B2 (8,0,0) ,
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
z
R (0,0, z )
z
B (0, y, z )
M
( x , o, z ) C
x
P
o ( 0 ,0 ,0 )
( x,0,0)
( x, y, z ) y
Q (0, y,0)
y y
竖 坐 标
A ( x , y ,0 ) 横
坐 标
x
空间的点 M
1——1
所以 | M1 M 2|
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
即
| M1 M 2 |
( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
; 例1（1）写出点A(1,2,1)的向径的坐标表示 （2）写出起点为A(1,2,1), 终点为B(3,3,0)
c a
（2） 三角行法则
指出：
b
ab
a
b
三个或三个以上向量相加时, 只要将前一向量的 终点作为下一向量的起点, 直至最后一个向量, 那么以第一个向量的起点为起点, 最后一个向量 的终点为终点, 所作的向量就是这些向量的和.
例如
abcd
d
c
按照向量与数的乘积的规定，
0 a | a | a
a 0 a . |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
四、向量的坐标表示
1、向径及其坐标表示
o, 终点为M的向量 向径：起点为坐标原点 称为点M的向径. z
记为 r ( M ) = OM 设i , j , k分别为与x轴, y轴, z轴
以点M (a x , a y , az )为终点的向径 OM , 即 a OM a x i a y j a z k
Hale Waihona Puke Baidu
OM OA OB OC
a a a
2 x 2 y 2 z
2
2
2
2
z
k
C
i o
a
j
所以 2 2 2 a a a a x y z
3、向量与数的乘法
设 为一实数,向量a与的乘积是一个向量 , 记为a . a (1) 0时, a 与a 同向， 向量 a的模 | a || || a |
( 2) 0时, a 0
2a
( 3) 0时, a 与a 反向，
a
三、向量的线性运算 1、 加法： a b c
（1） 平行四边形法则
b
特殊地：若 a‖ b b | c || a | | b | 当 a 与 b同向时 a c b c 当 a 与 b 反向时 a | c | | a | | b | c b a | c | | b | | a |
a
b
向量的加法符合下列运算规律：
（1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c (a b ) c a (b c ). （3） a ( a ) 0. 2、 减法 a b a ( b ) 将两向量的起点放 ab 在一起，以减向量的终 b 点为起点，被减向量的 a 终点为终点得到的向量 b a (b ) 即为二者差
k
OM M
j
方向相同的单位向量 称为基本单位向量 ,
x
i
o
y
求OM 的坐标表示 由向量加法的法则，得 OM OA AM M M 而向量 OA xi ， = OA OB OC z OB yj ，OC zk z C 故 OM xi yj zk M( x , y , z ) 称为向径 OM 的分解式 y k i o y j B 简记为 OM = { x , y , z } x ' M A
设点M的坐标为 ( x , y, z ),
x
称为向径 OM的坐标式
2. 向量M 1 M 2的坐标表达式
z
M1
.
M . 2
y
则M1 M 2 OM 2 OM1
设M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ),
o
OM2 x2i y2 j z2k
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
设a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 则有 (1)a b (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k ( 2)a a x i a y j a z k ( 3)a b (a x bx )i (a y b y ) j (a z bz )k (4)a b a x bx , a y b y , a z bz a x a y az (5)a // b bx by bz
的向量的坐标表达式 ;
解 （1） OA i 2 j k {1,2,1} （2） AB (3 1)i (3 2) j (0 1)k 2i j k {2,1,1}
. （3）计算A, B两点间的距离
（3） |AB | 2 2 12 ( 1) 2 6
例2 求证以M1 ( 4,3,1), M 2 (7,1,2), M 3 (5,2,3)
为顶点的三角形为等腰 三角形.
解
M1 M 2 (7 4) (1 3) (2 1) 14,
2 2 2
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
（1）交换律： a a
（2）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （3）分配律： ( )a a a (a b ) a b
与非零向量 a 同方向的单位向量称为 a的单位 0 向量记为a .
因为 OM1 x1i y1 j z1k
x
( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k 即M1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k 分解式 简记为 a M M { x x , y y , z z } 坐标式 1 2 2 1 2 1 2 1
纵 坐 标
有序数组 ( x , y , z )
有序数组( x, y, z )称为点M的坐标, 记为M ( x, y, z )
特殊点的坐标: 坐标轴上的点 P , Q , R, 坐标面上的点 A, B , C ,
原点o
练习
1. 在空间直角坐标系中，指出下列点在哪个卦限？
A(1,2,3) , B( 2,3,4) , C ( 2,3,1) , D(1,2,3) ,
M (a x , a y , az )
B
y
x
A
4. 空间两点间的距离公式
空间两点M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )的距离 记为 | M1 M 2 |
由于 M1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
所以 M M ( x i y j z k ) ( x i y j z k ) 1 2 2 2 2 1 1 1
{a x , a y , az }
3. 向量a a x i a y j a z k的模 任给一向量a a x i a y j a z k , 都可以看作
B3 (0,0,6) .
二、 向量的基本概念
只有大小的量 数量(标量)： 向量(矢量)： 既有大小又有方向的量. 向量表示： 用a , b , c 等表示. 几何上,也常用有向线段表示向量.
N
a
M
起点为M , 终点为N的向量记为MN . 或记为 a a 向量的模： 向量 的大小(长度).记为 | a | 或 MN
单位向量： 模长为 1 的向量.
零向量：模长为 0 的向量.记为 0
规定零向量的方向为任意方向.
自由向量： 不考虑起点位置的向量（与起点无关） 相等向量： 模相等且方向相同的向量.
记为a b
a
b
负向量： 与a的模相等但方向相反的向量称为 a的负向量 .

a
a的负向量记为 a .