电路分析基础 第7章

(7-5)
式(7-5)
式(7-4)和式(7-5)统称为换路定理。当换路时刻为t0时， 换路定理表示为
uC(t0+)=uC(t0－)；iL(0+)=iL(0－)
(7-6)
2. 换路定理给出的是，在换路前后瞬间，流过电感的电流和
电容两端的电压是不跳变的。除此之外，电路中的其他变量(包 括电感电压和电容电流)在换路瞬间皆可能发生跳变，即其0+时 的值不等于0－时的值。
如果换路(开关动作)是理想的，即不需要时间，则有
0－=0=0+。假设换路瞬间电容电流iC为有限值，则式(7-3)中
1
C
0
iC
d
0
0
，故有
uC(0+)=uC(0－)
(7-4)
同理，对于电感元件，有VAR：
iC
t
iL 0
1wenku.baidu.comL
t uL d
0
如果在换路瞬间电感电压uL为有限值，则有
iL(0+)=iL(0－)
【例7-2】 电路如图7-3(a)所示，开关S断开前电路已 稳定，当t=0时开关断开。求初始值iC(0+)、uL(0+)、i1(0+)、 uC′(0+)和iL′(0+)
解 (1) t<0时，(电容开路，电感短路)电路如图7-3(b)所 示, 得
uC(0－)=10 V
10 iL (0) 4 // 4 5A
iL (0)
uL (0) L
0A/s
uC (0)
iC (0) C
5V/s
7.2 一阶电路的零输入响应
对于任意一阶电路，总可以用图7-4(a)所示的等效电路 来描述，即一阶电路总可以看成一个含源二端电阻网络N处 接一个电容或电感所组成的电路。根据戴维南定理和诺顿定 理, 图7-4(a)所示电路总可以化简为图7-4(b)或图7-4(c)所示的
图7-1 动态电路的全响应图示
在图7-1中，若把动态电路的初始储能也看成一种“激
励”，则根据线性电路的叠加特性，可把由初始储能X0和外 加激励f(t)共同作用所产生的响应(全响应)，分解为由初始储
能X0单独作用所产生的响应(零输入响应)和由外加激励f(t)单 独作用所产生的响应(零状态响应)
全响应=零输入响应+零状态响应
图7-3 例7-2图
(2) t=0时，(电容看成电压源，电感看成电流源)电路如
图7-2(c)所示，由换路定理得
uC(0+)=uC(0－)=10 V，iL(0+)=iL(0－)=5 A
uL(0+)=10－uC(0+)=0 V
i1(0)
10 4
2.5A
i2
(0)
uL
0
2
0A
iC(0+)=5+i2(0+)－i1(0+)=2.5 A
(7-1)
若用yx(t)表示零输入响应，yf(t)表示零状态响应，式(71)可写成
y(t)=yx(t)+yf(t)
(7-2)
因此，在动态电路分析中，通常是将全响应分解为零输
入响应和零状态响应来进行求解的。
7.1 换路定理及初始值计算
设t=0是换路的计时起点，则从换路的全过程来看，可 以分为开关动作前的最后一瞬间和开关动作后的第一个瞬间， 分别记为t=0－和t=0+。换路前t=0－瞬间电路的储能状态表现 为uC(0－)或iL(0－)，通常称为电路的初始状态； 而t=0+，即 换路后的第一个瞬间才表示换路的起始时刻，通常称为初始 值。
同(如m个C和n－m个L)。本书仅讨论求解一阶和二阶动态电
路响应的基本方法。
由线性微分方程的理论可知，线性常系数微分方程的全 解，由它的一个特解与相应的齐次方程的全解(齐次解)相加 而成。求得全解后，可根据初始值确定全解中的系数，从而
在电路分析中，通常并不采用这种经典的求解微分方程 全解的方法。注意到动态电路中的动态元件可能含有初始储 能(表现为uC(0－)≠0或iL(0－)≠0)，若用X0来表示动态电路的初 始储能，在外加激励f(t)的作用下，动态电路的全响应可用 图7-1表示。
1. 由前一章讨论已知，在关联参考方向下，电容元件VAR
uC
t
uC
t0
1 C
t iC d
t0
令t0=0－，得
uC
t
uC
0
1 C
t iC d
0
式中，uC(0－)为换路前最后瞬间电容的电压值，即初始状态。
为求取换路后电容电压的初始值，取t=0+代入上式，得
uC
0
uC
0
1 C
0
iC
d
0
(7-3)
iL (0)
uL (0) L
，uC
(0)
iC
(0) C
。
【例7-1】 电路如图7-2(a)所示，开关S闭合前电路已 稳定，已知us=10 V，R1=30 Ω，R2=20 Ω，R3=40 Ω，t=0
解 示, 得
(1) t<0时，(电容开路，电感短路)电路如图7-2(b)所
uC (0 )
R2 R1 R2
(1) 求t<0时(稳态)的电容电压uC(0－)，或电感电流iL(0－)， 此时把电容看成开路、电感看成短路；
(2) 求t=0+时的初值响应，根据换路定理得到电容电压 uC(0－)=uC(0+)，或电感电流iL(0－)=iL(0+)，此时把电容看成电压 源、电感看成电流源；
(3) 根据电容和电感的VAR得
第7章 一阶电路分析
7.1 换路定理及初始值计算 7.2 一阶电路的零输入响应 7.3 一阶电路的零状态响应 7.4 一阶电路的全响应 7.5 阶跃函数与阶跃响应
我们定义一个由一阶微分方程描述的电路为一阶电路。 从电路结构看，一阶电路一般只含有一个动态元件。如果一 个电路可以通过等效变换简化为仅有一个动态元件的电路， 则它就是一阶电路。同理，由n 阶微分方程描述的电路为n 阶电路。从电路结构看，n阶电路一般含有n个独立的动态元 件。动态元件可以性质相同(如n个C或n个L)，也可以性质不
us
4V
iL (0 )
us R1 R2
0.2A
图7-2 例7-1图
(2) t=0时，(电容看成电压源，电感看成电流源)电路如 图7-2(c)所示。
由换路定理得 uC(0+)=uC(0－)=4 V， iL(0+)=iL(0－)=0.2 A i1(0+)=iL(0+)=0.2 A u1(0+)=R1i1(0+)=6 V， u2(0+)=u3(0+)=uC(0+)=4 V i2(0+)=u2(0+)/R2=0.2 A， i3(0+)=u3(0+)/R3=0.1 A iC(0+)=iL(0+)－i2(0+)－i3(0+)=－0.1 A， uL(0+)=－u1(0+)+us－uC(0+)=0 V