金融数学课件第三章均值方差证券投资组合选择模型

~ ) A 2 (~ ) E ( rq rq ~ E ( rzc ( q ) ) W zc ( p ) R 2 ~ 1 C (r )
q
zc(q)的几何含义
证券组合q的0协方差前沿组合zc(q)的收益 率的期望值是证券组合q和mvp的连线在纵 轴上的截矩。图3.11a
第五节 用前沿组合对任意组合定价
利用零协方差证券组合对资产定价 任意证券组合i与前沿组合期望方面的关系 任意证券组合i，任选一个前沿组合p（mvp除 外）， PI是p和i的结合线（仍然是双曲线） 可以证明，PI与证券组合前沿（由所有资产生 成）相切于p点，“最外层”。 两条曲线在p点的斜率相等，得到定价公式。
1 D
T
( CV
1
1
R AV
1
1)
2
A 1 V
R, B R V
1
R,C 1 V
1, D BC A
0
证券组合前沿
任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解， 进而得到不同的前沿证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条 曲线。 由全体“前沿证券组合”构成的“集合” ——证券组合前沿（portfolio frontier）。 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础
证券组合前沿的性质
g和h是两个特殊“解向量” 性质3-1 ：g对应的收益率是0，g+h对应1。 性质3-2：任何前沿证券组合可以由g和g＋ h通过再组合得到。可以表示成“线性组 合 ”。 性质3-2ａ：前沿证券组合可以由任意两个 不相同的前沿证券组合进行再组合而得。
证券组合有效前沿的几何结构
r1 ,..., rn r 1 n

1
n t 1
rt

2

n 1

n t 1
( rt r )
2
证券之间关联性——相关系数
某一证券价格的变动可能伴随着另一证券价格 的变动。关联性普遍存在。 需要度量关联性的方向和程度 随机变量的协方差和相关系数 从联合分布可计算。 用历史数据计算（3.10）(3.11)
金融数学
第三章 均值方差证券投资组合选择模型
马科维茨Markowitz《证券组合选择》 投资选择：风险（低）收益（高）之间的 “平衡” 基于期望收益率上的投资决策，最多只能 获得最高的平均收益率 风险收益的“数量化” 前沿组合、无差异曲线数学性质
第一节 风险和收益的数学度量
用随机变量表示未来的收益率 用期望代表：平均收益率 方差代表风险（得到平均收益率的不确定性 ） 从分布函数（条件太强）计算收益和风险 从“历史”样本估计收益和风险
0
1/C
(r )
另一种推导方法利用I和p的协方差的表达式， 将p的具体投资比例代入可得 ~ ) (1 ) E ( ~ ~ ) E ( ri rzc ( p ) ) ip E ( r p ip
收益率标准差（方差）——均值空间 机会集（可行域）是双曲线 所围的区域 前沿组合的协方差（3.22） r r 方差 ( ~ ) ( E ( ~ ) A / C )
2 2 p
1/C D /C E ( ~p ) A / C r D / C ( ~p ) r

p
2
1
zc(p)的几何含义
双曲线：切线在纵轴上的截距 抛物线：p和mvp的连线的截距
E (r )
p
A/C
mvp zc(p )
E ( ~zc ( p ) ) r
0
1/C
(r )
非前沿组合的零协方差组合
对非前沿证券组合q，与q协方差为零的全部 组合中，组合Q的方差最小。仍记，Q＝zc （q） 数学表达为规划问题
投资组合几何表示和可行域
选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σ P 以EP为纵坐标、σ P为横坐标，在EP-σ P坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σ P中的一个点 反过来，EP-σ P中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组 合在EP-σ P中的“点”组成EP-σ P中的区域 可行域（feasible set） 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。 可行域＝机会集
E ( ~ ) E ( ~zc ( p ) ) ip ( E ( ~p ) E ( ~zc ( p ) )) ri r r r
ip
cov( ~ , ~p ) ri r 2 (~ ) r
p
定价公式推导的图形说明
E (r )
q p i mvp
A/C
zc(p)
E ( rzc ( p ) )
Zc(q)
( ~p ) r
2
q零协方差组合生成的前沿曲线Fq
Fq是规划问题
W W W
min T
VW
q T T
1
0
2
W
T
VW
RE 11

随E的变动，得到曲线Fq Fq上的点是zc（q）和zc（p）的再组合 Fq与有效前沿F0 在zc（p）点相切 取不同的q，得到不同的Fq ，F0是Fq的包络线
根据无差异曲线可以比较任意两个组合的好坏 无差异曲线位置越靠左上，满意程度越高 C＞A＝B＞D
切点是最佳证券组合点
第三节 组合有效前沿的数学推导
定义：一个证券组合被称为是前沿证券组合，如果它 在所有“等均值收益率”的证券组合中，方差最小 每个前沿证券组合一定对应一个收益率 “前沿证券组合q”＝对应收益率q的前沿组合 前沿证券组合的数学表示 假定在无摩擦市场上存在N(＞1)种风险资产，允许 无限制卖空。假设收益率的方差有限，并且均值不 相等，而且，任何一个资产的收益率不能由其它资 产收益率的线性组合表出（收益率线性无关）。 它们收益率的方差——协方差矩阵V是正定矩阵
两种证券的结合线
分多种情况：双曲线、直线、折线 构建0风险组合、存在无风险证券情况
第二节 马克维茨模型的运作过程
模型的假设条件 假设1：收益率的概率分布是已知的； 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； 假设4：投资者遵守占优原则，即， 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
cov( ~p , ~mvp ) var( ~mvp ) 1 / C r r r
有效证券组合（或有效边界） efficient portfolios
双曲线从mvp开始： 向右上方的一支，是有效的 向右下方的一支，是无效的 “有效组合”＝“前沿组合”＋“期望 >A/C” 凸组合定义：非负，和为1。 性质3-4：有效证券组合集是凸集
第四节 零协方差前沿证券组合
zc(p)与p是有特殊关系的前沿证券组合， 非前沿组合也有0协方差zc(p)的概念 前沿证券p的零协方差前沿证券组合 zc(p)， 之间的协方差为0 性质3-5：对于的任意一个有效前沿证券组合 p（p≠mvp），存在唯一的零协方差前沿证 券组合zc（p）。 前沿证券组合zc（p）和p的地位是“对称的” 从证明中可以看出，不同时是有效组合
最小方差证券组合mvp
mvp＝minimum variance portfolio 所有可行证券组合中mvp的方差最小 mvp是双曲线（抛物线）的顶点 mvp的坐标（C－1/2，A/C） mvp的投资权重 1
W mvp V
1
1
C
性质3-3：对所有的证券组合p（不仅限 于前沿证券组合）
前沿组合的数学表述和求解
前沿组合权重向量Wp是下列二次规划问题的解
W W
min T
T
1 2
R E ( ~p ) r
W
T
VW
11
是前沿证券对应的收益率 用拉格朗日乘子法求解
W
p
E ( ~p ) r
g hE ( ~p ) r 1 D
T
g
( BV
1
1
1 AV
T
1
R ), h
这是一条双曲线。渐进线 中心点为（0，A／C）
双曲线图形
E (r )
双曲线
A/C
MVP机会集
0
1/C
(r )
在收益率的方差——均值空间中， 机会集是顶点为（C-1/2，A/C）的抛物线 图形

2
~ ) 1 ( CE ( rp D
2
( ~p ) 2 AE ( ~p ) B ) r r
W W
min T
VW
q T
1
0
2
W
T
VW
11
用拉格朗日求解zc(q)
W zc ( q ) C ( ~q ) r 1 Wq W mvp 2 ~ 2 ~ 1 C ( rq ) 1 C ( rq )
2
Q＝zc(q) 是q与mvp的再组合，Wq是负数。 期望收益率为
组合的期望和方差计算方法
以两组合为例，多组合类推 “两证券组合”的收益率数学表示法 证券A和B，以总资金的WA的比例投资于A，以 WB于B。WA＋WB＝1，则拥有证券组合 P＝（WA，WB） WA，WB为组合P中A的权数和B的权数 假设AB的收益率为rA和rB，则 P的收益率为rP＝WA×rA＋WB×rB 权数可以为负。 WA＜0，表示该组合投资者卖空证券A
可行域必须满足的形状
左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” 可以证明，边界是双曲线。
有效边界和有效组合
判断组合好坏的公认标准——投资者共同偏好 第一：以期望衡量收益率，方差衡量风险， 仅关心期望和方差 第二：期望收益率越高越好，方差越小越好 可行域内部和右下边缘上的任意组合，均可以 在左上边界上找到一个比它好的组合。淘汰 最佳组合“必须来自”左上边界——有效边界 有效组合——有效边界对应的组合
垂直传导性
定理3.1：任意非前沿证券组合q及前沿证券组合 p ~ ~ ~ ~
var( r p ) var( rq ) var( rzc ( p ) ) var( rzc ( q ) )
E (r )
F0
p
F1
q
E ( ~zc ( q ) ) r E ( ~zc ( p ) ) r
0
Zc(q) zc(p)
对风险补偿的偏好和无差异曲线
增加同样的风险，不同的投资者所要求得到的期望 收益率补偿的高低可能不一样。补偿数额越高，对 风险越厌恶 对某个特定投资者，根据对风险的态度，可以得到 一系列满意程度相同（无差异）的组合 无差异曲线的特征 波动方向一定是从左下方向右上方，单调性 曲线将变得越来越陡，凸函数 无差异曲线的形状（弯曲程度）因人而异，反映投 资者的风险偏好态度 无差异曲线族中的曲线互不相交，等高线不相交

两证券组合的期望收益率与方差计算方法 必须知道相关系数或协方差 E（rP）＝WA×E（rA）＋WB×E（rB） σ 2P＝W2A×σ 2A＋W2B×σ 2B ＋2×WA×WB×ρ AB×σ A×σ B 选择不同的组合权数，得到不同的组合，从 而得到不同的期望收益率和方差。 WA和WB有无限种取法，投资者有无限多种 证券组合可供选择。 每个投资者根据自己对收益和方差（风险） 的偏好，选择符合自己要求的证券组合
cov( r1 , r2 ) E ( r1 r1 )( r2 r2 )
12
cov( r1 , r2 )
1
2

三种相关程度： 1、完全线性相关：完全决定另一个 ρ AB＝1或ρ AB＝-1 rA＝a＋b×rB , σ 2A＝b2×σ 2B 2、不完全线性相关：“部分”决定另一个 rA＝a＋b×rB＋ε σ 2A＝b2×σ 2B＋σ 2（ε ） 3、不相关：一证券的变化对另一证券的变化 “没有贡献” ρ AB＝0或cov（rA，rB）＝0
( ~p ) r
2
水平传导性
定理3.2：任意非前沿证券组合q及前沿组合p ~ ) E ( ~ ) cov( ~ ~)0 E (r r r ,r
p q zc ( p ) q
E (r )
F0
p
q
F1
Fq
ຫໍສະໝຸດ Baidu
E ( ~zc ( q ) ) r E ( ~zc ( p ) ) r
0 Zc(p)