数理逻辑 第三章 数学推理 递归定义
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用显式的公式来定义序列里的项 2的幂的序列 对n=0,1,…来说an=2n 给出该序列的第一项，即a0=1 给出从前一项来求当前项的规则，即对
n=0,1,2…来说an+1=2an
三、递归地定义函数
为了定义以非负整数集合作为其定义域 的函数，就要：
规定这个函数在0处的值 给出从较小的整数处的值来求出当前的值
三、递归地定义函数
定理（拉梅定理）：设a和b是满足a≥b的 正整数，则欧几里德算法为了求出 gcd(a,b)而使用的除法的次数小于或等于 b的十进制位数的5倍。
证：当用欧几里德算法求满足a≥b的gcd(a,b) 时，得出下面的等式序列（其中a=r0，b＝ r1）：
三、递归地定义函数
r0=r1q1+r2，0≤r2<r1； r1=r2q2+r3，0≤r3<r2； …… rn-2=rn-1qn-1+rn，0≤rn<rn-1； rn-1=rnqn； 这里，为了求出gcd(a,b)而使用了n次除法，
它小于或等于log10b＋1，由拉梅定理， 求出满足a≥b的gcd(a,b)所需要的除法次 数小于或等于5(log10b＋1)。 因为5(log10b＋1)是O(logb)，故每当a≥b 时，欧几里德算法就用O(logb)次除法来 求出gcd(a,b)。
四、递归地定义集合
集合的递归定义：
给出初始的一些元素； 给出用来从已知属于集合的元素来构造集合的其
q1,q2,…,qn-1都至少是1，而qn则大于等于2；
三、递归地定义函数
因此，可以得到以下不等式：
三、递归地定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
由此得出，若欧几里得算法为了求出满足
a≥b的gcd(a,b)而使用了n次除法，则b≥fn+1；
另外，对n≥3来说，fn＋1>αn-1，其中α＝
(
)/2；
因1此，5b>αn-1；
解：设P(y)是命题：每当x∈Σ*时就有 l(xy)=l(x)+l(y)；
基础步骤：证明P(λ)为真，即必须证明对所 有x∈Σ*来说有l(xλ)=l(x)+l(λ)，因为对每个字 符串x来说l(xλ)=l(x) =l(x)+0 =l(x)+l(λ)，所以 P(λ)为真；
四、递归地定义集合
归纳步骤：假定P(y)为真，证明这个假定蕴 含着每当a∈Σ时，就有P(ya)为真
又因为log10α～0.208>1/5，所以，log10b>(n1)log10α>(n-1)/5；
三、递归地定义函数
因此，n-1<5log10b； 现在假定b有k个十进制位，则b<10k； 因此，n-1<5k，由于k是整数，所以n≤5k，
证毕。
三、递归地定义函数
因为b的十进制位数等于 log10 b 1 ，
的规则
这样的定义称为递归定义或归纳定义
三、递归地定义函数
例：假定f是用
f(0)=3; f(n+1)=2f(n)+3 来定义的。求出f(1),f(2),f(3)和f(4)。
许多函数都可以利用它们的递归定义来 研究。
三、递归地定义函数
例：给出阶乘函数F(n)=n!的归纳定义
解：可以通过规定阶乘函数的初值，即 F(0)=1，并且给出从F(n)求出F(n+1)的规则， 来定义这个函数
整数都属于S（数学归纳法）： 设P(n)是命题：3n属于S；
基础步骤：3×1=３∈Ｓ，根据S的递归定义
的第一部分；
四、递归地定义集合
归纳步骤：假定Ｐ(n)为真，即3n属于S，又
因为3属于S，所以从S的递归定义的第二部 分得出，3n+3=3(n+1)也属于S 然后证明S是A的子集（S的递归定义）： 该定义的第一部分规定3属于S，因为 3=3×1，所以在这一步规定的属于S的元素 都被3整除； 必须证明所有用递归定义第二部分生成的 属于S的元素都属于A；
设P(n)是命题：fn>αn-2。
三、递归地定义函数
首先，f3＝2>α;
f4=3,由于α2＝( 3 5)/2,所以f4>α2;
因此，P(3),P(4)都为真； 现在假定P(k)为真，即对所有满足3≤k≤n的整
数k来说有fk>αk-2，其中n≥4； 必须证明P(n+1)为真，即fn+1>αn-1； fn+1=fn+fn-1>αn-2+αn-3=αn-1(α-1+α-2)=αn-1；证毕。
这两个等式对所有非负整数唯一地定义了an。
三、递归地定义函数
n
例：给出 ak的递归定义 k 0
解：这个递归定义的第一部分是：
0
ak a0
k 0
第二部分是： n1
n
ak ak an1
k 0
k 0
三、递归地定义函数
在函数的某些递归定义中，
规定了函数在前k个正整数处的值； 给出了从一个较大的整数之前的部分或全
四、递归地定义集合
字符串的长度是该字符串中符号的个数， 其也可以递归地定义
例：给出字符串ω的长度l(ω)的递归定义。
解：字符串的长度定义为： l(λ)=0； l(ωx)= l(ω)+1，若ω∈Σ*且x∈Σ。
四、递归地定义集合
例：用数学归纳法证明：l(xy)=l(x)+l(y)， 其中x和y属于Σ*。
T、F和p都是合式公式，其中p是命题变元； 若p和q是合式公式，则(┓p)，(p∧q)，
(p∨q)，(p→q)，(p↔q)都是合式公式。
四、递归地定义集合
若p,q和r是命题变元，则重复使用上述 递归定义，就证明(p∨q),(r∧T)和 (p∨q)→(r∧T)都是合式公式
字母表Σ上的字符串是Σ里的符号的有穷 序列
部k个整数处的函数值来确定在该整数处的 函数值的规则。
斐波那契数的递归定义：
f0=0，f1=1； fn=fn-1+fn-2，对n=2,3,4,…来说
三、递归地定义函数
可以用斐波那契数的递归定义来证明这些 数的许多性质
例：证明：每当n≥3时，就有fn>αn-2，其中 α＝( 1)/25。
解：可以用数学归纳法第二定理来证明这个不 等式
多次使用F(n+1)=(n+1)F(n)，一旦F(0)是出 现的唯一的函数值，将F(0)的值插入公式。
三、递归地定义函数
例：给出an的递归定义，其中a是非零实 数而且n是非负整数
解：递归定义包含两部分，首先规定a0，即 a0=1；
然后给出从an求出an+1的规则，即对 n=0,1,2,…来说an+1=a▪an
四、递归地定义集合
需要证明每当x和y都是S中的元素并且假定 它们都属于A时，就有x+y属于A；
若x和y都属于A，则可以得出3|x，3|y，由此 得出3|x+y
A和S互为子集，证毕。
在集合的递归定义中隐含着：
只有在初始元素中列出的元素； 或者可以用构造新元素的规则来生成的那
些元素才属于这个集合。
Σ*表示Σ上的字符串的集合 连接运算：x=abc，y=ade，x和y的连接
是xy=abcade
四、递归地定义集合
字符串集合的递归定义：
字母表Σ上的字符串的集合Σ*递归地定义为： λ∈Σ*，其中λ是不包含任何符号的空串； 每当ω∈Σ*和x∈Σ时，就有ωx∈Σ*。
第一部分说明空串属于Σ*，第二部分说 明把Σ*的字符串与Σ的符号连接起来产生 新的字符串。
合式公式 字符串集合的递归定义
拉梅定理 斐波那契数
即：需要证明对每个a∈Σ来说有 l(xya)=l(x)+l(ya)
根据l(ω)的递归定义，有l(xya)=l(xy)+1和 l(ya)=l(y)+1
根据归纳假设，l(xy)=l(x)+l(y)，所以 l(xya)=l(xy)+1=l(x)+l(y)+1=l(x)+l(ya)
证毕。
小结
递归地定义序列 递归地定义函数 递归地定义集合
n!乘以n+1就得到(n+1)! F(0)=1； F(n+1)=(n+1)F(n)。
三、递归地定义函数
求F(5)=5！
F(5)=5▪F(4)=5▪4▪F(3)=5▪4▪3▪F(2) =5▪4▪3▪2▪F(1)=5▪4▪3▪2▪1▪F(0) =5▪4▪3▪2▪1▪F(0)=5▪4▪3▪2▪1▪1
复习
数学归纳法的两个步骤
基础步骤 归纳步骤
注意：
不假定对所有正整数来说P(n)为真， 只是证明了：若假定P(n)为真，则P(n+1)也
为真
数学归纳法第二原理
3.3 递归定义 Recursive Definitions
一、引言
用自己来定义自己的过程，称为递归
二、递归地定义序列
递归可以用来定义序列、函数和集合 序列：
数理逻辑
Mathematical Logic
第三章 数学推理
Chapter 3 Mathematical Reasoning
复习
数学归纳法有效性的来源是：
良序性
注意：
数学归纳法只能证明通过其它方式获得的 结果
它不是发现公式或公理的工具
数学归纳法用来证明形如∀nP(n)的命题， 其中论域是正整数集合
四、递归地定义集合
根据以上定义，由于x和3都是合式公式， 所以(x+3),(x-3),(x*3),(x/3)和 (x↑3)都是合式 公式；
又因为y也是合式公式，所以((x+3)+y)(y(x*3))也是合式公式；
语义上是有意义的，含义是唯一的。
四、递归地定义集合
例：包含着T、F、命题变元以及运算符 {┓, ∧,∨,→,↔}的复合命题的合式公式定 义为：
他元素的规则。
利用集合的递归定义可以证明关于它们的定 理
例：设S是用3∈S；若x∈S且y∈S，则x+y∈S 来递归定义的。证明：S是被3整除的正整数 集合。
四、递归地定义集合
解：设A是被3整除的所有正整数集合 为了证明A=S，必须证明它们互为子集 首先证明A是S的子集，即被3整除的每个正
四、递归地定义集合
集合的递归定义最普遍的用途之一是定 义各种系统里的合式公式
例：由变量、数字和{+,-,*,/,↑}中的运算 符（↑代表乘幂）所组成的合式公式定义 为：
若x是数字或变量，则x是合式公式； 若f和g是合式公式，则(f+g),(f-g), (f*g),(f/g)
和(f↑g)都是合式公式
n=0,1,2…来说an+1=2an
三、递归地定义函数
为了定义以非负整数集合作为其定义域 的函数，就要：
规定这个函数在0处的值 给出从较小的整数处的值来求出当前的值
三、递归地定义函数
定理（拉梅定理）：设a和b是满足a≥b的 正整数，则欧几里德算法为了求出 gcd(a,b)而使用的除法的次数小于或等于 b的十进制位数的5倍。
证：当用欧几里德算法求满足a≥b的gcd(a,b) 时，得出下面的等式序列（其中a=r0，b＝ r1）：
三、递归地定义函数
r0=r1q1+r2，0≤r2<r1； r1=r2q2+r3，0≤r3<r2； …… rn-2=rn-1qn-1+rn，0≤rn<rn-1； rn-1=rnqn； 这里，为了求出gcd(a,b)而使用了n次除法，
它小于或等于log10b＋1，由拉梅定理， 求出满足a≥b的gcd(a,b)所需要的除法次 数小于或等于5(log10b＋1)。 因为5(log10b＋1)是O(logb)，故每当a≥b 时，欧几里德算法就用O(logb)次除法来 求出gcd(a,b)。
四、递归地定义集合
集合的递归定义：
给出初始的一些元素； 给出用来从已知属于集合的元素来构造集合的其
q1,q2,…,qn-1都至少是1，而qn则大于等于2；
三、递归地定义函数
因此，可以得到以下不等式：
三、递归地定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
由此得出，若欧几里得算法为了求出满足
a≥b的gcd(a,b)而使用了n次除法，则b≥fn+1；
另外，对n≥3来说，fn＋1>αn-1，其中α＝
(
)/2；
因1此，5b>αn-1；
解：设P(y)是命题：每当x∈Σ*时就有 l(xy)=l(x)+l(y)；
基础步骤：证明P(λ)为真，即必须证明对所 有x∈Σ*来说有l(xλ)=l(x)+l(λ)，因为对每个字 符串x来说l(xλ)=l(x) =l(x)+0 =l(x)+l(λ)，所以 P(λ)为真；
四、递归地定义集合
归纳步骤：假定P(y)为真，证明这个假定蕴 含着每当a∈Σ时，就有P(ya)为真
又因为log10α～0.208>1/5，所以，log10b>(n1)log10α>(n-1)/5；
三、递归地定义函数
因此，n-1<5log10b； 现在假定b有k个十进制位，则b<10k； 因此，n-1<5k，由于k是整数，所以n≤5k，
证毕。
三、递归地定义函数
因为b的十进制位数等于 log10 b 1 ，
的规则
这样的定义称为递归定义或归纳定义
三、递归地定义函数
例：假定f是用
f(0)=3; f(n+1)=2f(n)+3 来定义的。求出f(1),f(2),f(3)和f(4)。
许多函数都可以利用它们的递归定义来 研究。
三、递归地定义函数
例：给出阶乘函数F(n)=n!的归纳定义
解：可以通过规定阶乘函数的初值，即 F(0)=1，并且给出从F(n)求出F(n+1)的规则， 来定义这个函数
整数都属于S（数学归纳法）： 设P(n)是命题：3n属于S；
基础步骤：3×1=３∈Ｓ，根据S的递归定义
的第一部分；
四、递归地定义集合
归纳步骤：假定Ｐ(n)为真，即3n属于S，又
因为3属于S，所以从S的递归定义的第二部 分得出，3n+3=3(n+1)也属于S 然后证明S是A的子集（S的递归定义）： 该定义的第一部分规定3属于S，因为 3=3×1，所以在这一步规定的属于S的元素 都被3整除； 必须证明所有用递归定义第二部分生成的 属于S的元素都属于A；
设P(n)是命题：fn>αn-2。
三、递归地定义函数
首先，f3＝2>α;
f4=3,由于α2＝( 3 5)/2,所以f4>α2;
因此，P(3),P(4)都为真； 现在假定P(k)为真，即对所有满足3≤k≤n的整
数k来说有fk>αk-2，其中n≥4； 必须证明P(n+1)为真，即fn+1>αn-1； fn+1=fn+fn-1>αn-2+αn-3=αn-1(α-1+α-2)=αn-1；证毕。
这两个等式对所有非负整数唯一地定义了an。
三、递归地定义函数
n
例：给出 ak的递归定义 k 0
解：这个递归定义的第一部分是：
0
ak a0
k 0
第二部分是： n1
n
ak ak an1
k 0
k 0
三、递归地定义函数
在函数的某些递归定义中，
规定了函数在前k个正整数处的值； 给出了从一个较大的整数之前的部分或全
四、递归地定义集合
字符串的长度是该字符串中符号的个数， 其也可以递归地定义
例：给出字符串ω的长度l(ω)的递归定义。
解：字符串的长度定义为： l(λ)=0； l(ωx)= l(ω)+1，若ω∈Σ*且x∈Σ。
四、递归地定义集合
例：用数学归纳法证明：l(xy)=l(x)+l(y)， 其中x和y属于Σ*。
T、F和p都是合式公式，其中p是命题变元； 若p和q是合式公式，则(┓p)，(p∧q)，
(p∨q)，(p→q)，(p↔q)都是合式公式。
四、递归地定义集合
若p,q和r是命题变元，则重复使用上述 递归定义，就证明(p∨q),(r∧T)和 (p∨q)→(r∧T)都是合式公式
字母表Σ上的字符串是Σ里的符号的有穷 序列
部k个整数处的函数值来确定在该整数处的 函数值的规则。
斐波那契数的递归定义：
f0=0，f1=1； fn=fn-1+fn-2，对n=2,3,4,…来说
三、递归地定义函数
可以用斐波那契数的递归定义来证明这些 数的许多性质
例：证明：每当n≥3时，就有fn>αn-2，其中 α＝( 1)/25。
解：可以用数学归纳法第二定理来证明这个不 等式
多次使用F(n+1)=(n+1)F(n)，一旦F(0)是出 现的唯一的函数值，将F(0)的值插入公式。
三、递归地定义函数
例：给出an的递归定义，其中a是非零实 数而且n是非负整数
解：递归定义包含两部分，首先规定a0，即 a0=1；
然后给出从an求出an+1的规则，即对 n=0,1,2,…来说an+1=a▪an
四、递归地定义集合
需要证明每当x和y都是S中的元素并且假定 它们都属于A时，就有x+y属于A；
若x和y都属于A，则可以得出3|x，3|y，由此 得出3|x+y
A和S互为子集，证毕。
在集合的递归定义中隐含着：
只有在初始元素中列出的元素； 或者可以用构造新元素的规则来生成的那
些元素才属于这个集合。
Σ*表示Σ上的字符串的集合 连接运算：x=abc，y=ade，x和y的连接
是xy=abcade
四、递归地定义集合
字符串集合的递归定义：
字母表Σ上的字符串的集合Σ*递归地定义为： λ∈Σ*，其中λ是不包含任何符号的空串； 每当ω∈Σ*和x∈Σ时，就有ωx∈Σ*。
第一部分说明空串属于Σ*，第二部分说 明把Σ*的字符串与Σ的符号连接起来产生 新的字符串。
合式公式 字符串集合的递归定义
拉梅定理 斐波那契数
即：需要证明对每个a∈Σ来说有 l(xya)=l(x)+l(ya)
根据l(ω)的递归定义，有l(xya)=l(xy)+1和 l(ya)=l(y)+1
根据归纳假设，l(xy)=l(x)+l(y)，所以 l(xya)=l(xy)+1=l(x)+l(y)+1=l(x)+l(ya)
证毕。
小结
递归地定义序列 递归地定义函数 递归地定义集合
n!乘以n+1就得到(n+1)! F(0)=1； F(n+1)=(n+1)F(n)。
三、递归地定义函数
求F(5)=5！
F(5)=5▪F(4)=5▪4▪F(3)=5▪4▪3▪F(2) =5▪4▪3▪2▪F(1)=5▪4▪3▪2▪1▪F(0) =5▪4▪3▪2▪1▪F(0)=5▪4▪3▪2▪1▪1
复习
数学归纳法的两个步骤
基础步骤 归纳步骤
注意：
不假定对所有正整数来说P(n)为真， 只是证明了：若假定P(n)为真，则P(n+1)也
为真
数学归纳法第二原理
3.3 递归定义 Recursive Definitions
一、引言
用自己来定义自己的过程，称为递归
二、递归地定义序列
递归可以用来定义序列、函数和集合 序列：
数理逻辑
Mathematical Logic
第三章 数学推理
Chapter 3 Mathematical Reasoning
复习
数学归纳法有效性的来源是：
良序性
注意：
数学归纳法只能证明通过其它方式获得的 结果
它不是发现公式或公理的工具
数学归纳法用来证明形如∀nP(n)的命题， 其中论域是正整数集合
四、递归地定义集合
根据以上定义，由于x和3都是合式公式， 所以(x+3),(x-3),(x*3),(x/3)和 (x↑3)都是合式 公式；
又因为y也是合式公式，所以((x+3)+y)(y(x*3))也是合式公式；
语义上是有意义的，含义是唯一的。
四、递归地定义集合
例：包含着T、F、命题变元以及运算符 {┓, ∧,∨,→,↔}的复合命题的合式公式定 义为：
他元素的规则。
利用集合的递归定义可以证明关于它们的定 理
例：设S是用3∈S；若x∈S且y∈S，则x+y∈S 来递归定义的。证明：S是被3整除的正整数 集合。
四、递归地定义集合
解：设A是被3整除的所有正整数集合 为了证明A=S，必须证明它们互为子集 首先证明A是S的子集，即被3整除的每个正
四、递归地定义集合
集合的递归定义最普遍的用途之一是定 义各种系统里的合式公式
例：由变量、数字和{+,-,*,/,↑}中的运算 符（↑代表乘幂）所组成的合式公式定义 为：
若x是数字或变量，则x是合式公式； 若f和g是合式公式，则(f+g),(f-g), (f*g),(f/g)
和(f↑g)都是合式公式