最优控制作业

基于最优控制LQR倒立摆系统的设计与仿真

孟照崇

本钢板材股份有限公司

摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。从理论和实践上对线性一级倒立摆作了深入的研究。首先,用拉格朗日方法建立了倒立摆的数学模型。在此基础上采用两LQR法线性二次型最优控制方法设计了倒立摆的控制器。最后通过MATLAB仿真和实际系统实验，实现对倒立摆的稳定控制。通过试验验证了设计结果并给出了控制器的性能评价。建立模型，确定参数，进行控制算法设计、系统调试和分析等步骤实现。

关键词：倒立摆；LQR控制器；拉格朗日算法；MATLAB建模

1引言

倒立摆作为一种实验装置,首先它具有形象、直观、结构简单、成本较低、构件组成参数和形状易于改变等特点；其次倒立摆控制系统是一个典型的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强藕合控制系统。因此对于倒立摆系统,只有采取有效的控制方法才能使其稳定,其控制效果可以通过其稳定性直观体现,也可以通过摆杆角度(旋转式倒立摆)或小车位移(小车式倒立摆)的稳定时间来直接度量。许多现代控制理论的研究人员都将其作为研究对象，很多文献介绍了基于输出反馈的PID控制系统，但其控制效果不理想，主要原因是系统的高阶次和多变量。

旋转式倒立摆系统是在小车式倒立摆系统的基础上发展起来的,但比小车式倒立摆系统更为复杂和不易稳定,控制难度也更大。不同之处在于,旋转式倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转运动,它将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上,通过电机带动旋臂在水平面内转动来控制摆杆的倒立,摆杆可以在垂直平面内旋转。

从工程背景来讲,小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题,大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题,都与倒立摆控制有很大的相似性[1,2]。

本文通过本文对旋转式倒立摆进行LQR控制，建立其单级倒立摆数学模型，设计LQR控制器。验证LQR控制器在旋转式倒立摆系统的控制中是否可行。

2旋转倒立摆系统结构及其数学模型

2.1系统机械结构

旋转式倒立摆的机械结构如图1所示，主要包括旋臂、摆杆、直流电机以及角位移传感器部分。其中直流电机为执行结构，可由专门的电机驱动芯片如

L298、LMD18200等驱动。有两个角位移传感器测量得到旋臂和摆杆的角位移信号，作为系统的输入量送入到控制器中，根据一定的算法计算得到控制律并转化为电压信号提供给驱动芯片，来驱动直流电机转动，从而带动旋臂在水平面内旋转，最终实现控制摆杆运动的效果。

图1 系统结构图图2 参考坐标系

2.2系统数学模型

建立准确的数学模型是控制系统设计的基础。目前，人们对倒立摆系统建模一般采用两种方法：牛顿力学分析方法和欧拉－拉格朗日方法。本文中为了简化建模过程将采用第二种方法，即分析力学中的拉格朗日方程来推导系统模型[3]。

假设系统的广义坐标是qi，广义速度为qi,i=1，2,…,n。Qi为对应于各个广义坐标的广义力。广义力Qi主要取决于广义坐标qi的量纲：当qi表示长度时，则Qi表示作用力；当qi表示面积时，则Qi表示表面张力；当qi表示体积时，则Qi表示应力；当qi表示转角时，则Qi表示力矩。本文的应用就是基于最后一种情况。H是用广义坐标和广义速度表示的系统功能。

首先建立如图2所示坐标系[4]。

1）计算系统总动能：对于杠杆，旋臂，和摆杆的连接点为B

对于距B点l2 处，长为dl的一小段，其坐标为

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=+=221

221112211cos cos *sin *sin *L y sin *sin *cos *θ

θθθθθθl z l l L x (1)

这一小段的动能为：)(***212.2.2.2

2

z y x dl L m dT ++= (2)

故杠杆的总动能为：

)(21d 2.2.2.2

2

L 022

2

z y x dl L m T T L ++⨯==⎰

⎰ =dl l l l l L L m L )cos 2sin (22.

1.

2212

1.

222.

2221.

20

12

22

θθθθθθθ-++⎰

=2

2.2222.1.221221.22222216

1cos 21)sin 6121(θθθθθθL m L L m m L L +-+ (3) 同理可以退出旋臂的动能T 1以及旋臂和摆杆连接处电位器的动能T 3。于是系统的总动能为：T=T 1+T 2+T 3

2)计算系统总势能：以摆杆自然下垂时质心所在平面为零势能面，则系统的总势能为：

23222212

1

)cos 1(2121gL m gL m gL m v +++=

θ (4) 3）由拉格朗日方程推倒系统模型： 由以上分析，拉格朗日算子

21

.2116

1θL m V T H =-=

+2

1.2132

2.2222.1.221221.222212161cos 21)sin 6121(θθθθθθθL m L m L L m m L ++-+ -23222212

1

)cos 1(2121gL m gL m gL m -+-θ (5) 则由拉格朗日方程有：

)2,1}(,{,)(21.===∂∂-∂∂i q f q H q

H dt d i i i

θθ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++21c 2..1..2222122122132100,312121)m 31C c K K L m L L m L L m L m m m θθ（（