高中数学必修综合试卷及答案

民族高级中学高二数学试题

一、选择题（共１２个，每个５分，共６０分） 1.若集合A={1，3，x}，B={1，2

x }，A ∪B={1，3，x}则满

足条件的实数x 的个数有（ ）

（A ） 1个 （B ） 2个 （C ）3个 （D ） 4个 2.若函数y=f （x ）的定义域是[2，4]，则y=f （12

log x ）

的定义域是（ ）

（A ） [12，1] （B ） [4，16] （C ）[116，1

4

] （D ）[2，4 ]

3.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（ ） （A ）()f π＞(3)f -＞(2)f - （B ）()f π＞(2)f -＞(3)f - #

（C ）()f π＜(3)f -＜(2)f - （D ）()f π＜(2)f -＜(3)f - 4.0.7log 0.8a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，那么（ ）

（A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）c ＜a ＜b

5、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）

A ．524=+y x

B ．524=-y x

C ．52=+y x

D ．52=-y x

6、 两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的

距离为（ ） A ．4 B 21313 C 51326 D 7

1020

7.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ ）

}

(A)

2

2 (B)4 (C)

2

4

(D)2

8、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：

①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（ ）

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

9．如图是计算12＋14＋16＋…＋1

20的值的一个程序框图，其

中在判断框中应填入的条件是( ) A ．i <10 B ．i>10 C ．i <20 D ．i >20

10．若P (A ∪B )＝1，则事件A 与B 的关系是( )

A ．A 、

B 是互斥事件 B ．A 、B 是对立事件

C ．A 、B 不是互斥事件

D ．以上都不对

11.、在等比数列{}n a 中，117a a ?=6，144a a +=5，则10

20

a a 等于（ ） @

A ．3

2 B ．2

3 C ．23或32 D ．﹣32或﹣2

3

12、△ABC 中，已知()()a b c b c a bc +++-=，则A 的度数等

于（ ）

A ．120

B ．60

C ．150

D ．30

二.填空题（共４个，每个５分，共２０分）

13．数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈，则5a =

14、设变量x 、y 满足约束条件??

?

??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的

最大值为

15

．

已

知

函

数

()sin()cos()f x x x =+θ++θ是偶函

数，

且[0,]2

π

θ∈，则θ的值

为 ．

16．下面有五个命题：①函数

y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是

π．

{

②终边在y 轴上的角的集合是｛a |a =

,2

k k Z π

∈｝．

③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点．

④把函数3sin(2)3

y x π=+的图像向右平移6

π得到3sin 2y x =的图像．

⑤函数sin()2

y x π

=-在[0]π，上是单调递减的．其中真命题

的序号是 ．

三、解答题（共６题，总分７０分 17．已知函数21

3

()cos sin cos 1,2

2

f x x x x x R =+

+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[,]

124

ππ

上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值．

１８.数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a n =-（*n N ∈）．（Ⅰ）证明数列{3}n a +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设3

n n n

b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；

|

１９、△ABC 中，c b a ,,是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且

cos cos 2B b

C a c

=-

+ （1）求∠B 的大小； （2）若a =4，35=S ，求b

的值。

２０．)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：

(1)求第四小组的频率，并补全

这个频率分布直方图；

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；

(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们

在同一分数段的概率．

２１、.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：（１）O C 1∥面11AB D ； （2 ）1

AC ⊥面11AB D ． 。

２２．已知函数2

1log 1x

f x x

+=-（） ，（x ∈（- 1，1）. （Ⅰ）判断f （x ）的奇偶性，并证明；

（Ⅱ）判断f （x ）在（- 1，1）上的单调性，并证明. 参考答案

一.选择题1—6：CC ACBD 7—12：CBBDCA 二．填空题

14. 18 13.4

π 14．①④ 三．解答题

~

17.

解

：

21()cos cos 12f x x x x =

+15

cos 2244

x x =

++ （1）()f x 的最小正周期22

T π

π=

= （2）[,]124x ππ∈ 22[,]633x πππ

∴+∈

∴当262x π

π

+

=

，即6

x π

=

时，

max

157()244

f x =+= 当26

3

x π

π

+

=

或226

3

x π

π

+

=

时，即12

x π

=

或4

x π

=

时，

18. 1(1)21,2(2)n n n a n b -=-

=用错位相减法 19. （１）012020. [解析] (1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f 4

＝1－＋×2＋＋×10＝. ！

其频率分布直方图如图所示．

(2)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为＋＋＋×10＝.

所以，估计这次考试的合格率是75%.

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

利用组中值估算这次考试的平均分，可得： 45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6 ＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝71. 所以估计这次考试的平均分是71分．

(3)[40,50)与[]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40,50)与[90,100]的学生中选两人，将[40,50]分数段的6人编号为A 1，

A 2，…A 6，将[90,100]分数段的3人编号为

B 1，B 2，B 3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)…(A 1，A 6)，(A 1，

B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，…，(B 2，B 3)}共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，

A 3)…(A 1，A 6)，(A 2，A 3)…(A 5，A 6)，(

B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共18个，故概率P ＝

1836＝1

2

. ·

21、证明：（1）连结11A C ，设11

111A C B D O =

连结1AO ，

1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四

边形

11A C AC ∴且 11A C AC = 2分

又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =

11

AOC O ∴是平行四边形

4分

111,C O AO AO ∴?面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴

1C

O

面

11AB D

6分

（2）

1CC ⊥

面

1111

A B C D

11!CC B D ∴⊥

7分

~

又

1111

A C

B D ⊥，

1111B D AC C ∴⊥面

9分

1

11AC B D ⊥即

11分

同

理

可

证

11

A C A

B ⊥，

12分

又11

11D B AB B =

∴1

AC ⊥面11AB D 22.证明：（Ⅰ）

又x ∈（-1，1），所以函数f （x ）是奇函数

（Ⅱ）设 -1＜x ＜1，△x=x 2- x 1＞0 因为1- x 1＞1- x 2＞0；1+x 2＞1+x 1＞0

所以

1212(1)(1)

1(1)(1)

x x x x -+>+-

所以122

12(1)(1)

log 0(1)(1)

x x y x x -+=>+-

所以函数2

1()log 1x

f x x

+=-在（- 1，1）上是增函数