随机模拟方法

程序%simu1.m clear i=2; w=0; x(i)=exprnd(10); c(i)=x(i); b(i)=x(i); while b(i)<=480 y(i)=unifrnd(4,15); e(i)=b(i)+y(i); w=w+b(i)-c(i); i=i+1; x(i)=exprnd(10);
随机模拟方法
在用传统方法难以解决的问题中， 某些问题含有不确定的随机因素，分析起 来通常比确定性的模型困难。 有的模型难做定量分析，得不到解析的结果或者是 有解析结果，但计算代价太大以至不能使用，在这种情况下，可以考虑随机模拟 的方法即 Monte Carlo 方法。该方法是一类以概率统计理论为指导的非常重要的 数值计算方法， 也是一种用于解决数值问题的基于计算机的统计抽样方法。 目前， 随机模拟方法已广泛应用于诸如生物信息学、统计物理学、计算机科学、材料科 学、金融学和经济学等领域。 基本知识 1. 基本思想 为了求解物理、数学、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个 概率或者随机过程， 使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或 者抽样实验来计算所求参数的统计特征， 最后给出所求解的近似值。而解的精确 度可用估计值的标准误差来表示。 该方法是一种独具风格的数值计算方法，其优 点大致有如下三方面： （A）方法的程序结构简单； （B）算法的概率性和问题的 维数无关； （3）方法的适应强。 2. 随机数和伪随机数 用 Monte Carlo 方法模拟某过程的时候，需要产生各种概率分布的随机变量。 最基本、 最简单、 最重要的随机变量是在 [0,1] 上均匀分布的随机变量。 为了方便， 通常把[0,1] 上均匀分布随机变量的抽样值成为随机数， 其他分布随机变量的抽样 都可以借助于随机数来实现，因此，随机数是随机抽样的基本工具。在计算机上 用数学的方法产生随机数是目前广泛使用的方法， 它的特点是占用内存少、产生 速度快、又便于重复产生，比如说平方取中法、移位指令加法、同余法等等。然 而这种随机数是根据确定的递推公式求得的， 存在着周期现象，初值确定后所有 随机的数便被唯一确定下来， 不满足真正随机数的要求，所以通常称数学方法产 生的随机数为伪随机数。 在实际应用中，只要这些伪随机数序列通过一系列的统 计检验，还是可以把它当称“真正”的随机数来使用。 3. 产生随机数的命令 在 Matlab 软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如下： (1)产生 m n 阶 [ a, b] 均匀分布 U (a , b ) 的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n)； 产生一个[ a, b] 均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)； (2)产生 m n 阶 [0,1] 均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)； 产生一个[0,1] 均匀分布的随机数：rand； (3) 产生 m n 阶均值为 ，方差为 2 的正态分布的随机数矩阵：
normrnd ( , ,m, n)； (4) 产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵：exprnd( ,m,n)
x e 若连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) 0
x 0 , x 0
其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的指数分布.排队服务系统中顾客到 达率为常数时的到达间隔、 故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布。指数分 布在排队论、可靠性分析中有广泛应用。 1 注： 参数为 的指数分布的期望值为 ， 故在 MATLAB 中产生参数为 的指 数分布的命令为：exprnd(1/ ) （5）产生 m n 阶参数为 的泊松分布的随机数矩阵：poissrnd( ,m,n) 注：参数为 的泊松分布的期望值为 。
应 1. 高维积分的数值模拟
用
2.排队论中的模拟 排队论主要研究随机服务系统的工作过程。 在排队系统中，服务对象的到达 时间和服务时间都是随机的。排队论通过对每个个别的随机服务现象的统计研 究， 找出反映这些随机现象平均特性的规律，从而为设计新的服务系统和改进现 有服务系统的工作提供依据。 对于排队服务系统, 顾客常常注意排队的人是否太 多, 等候的时间是否长, 而服务员则关心他空闲的时间是否太短. 于是人们常 用排队的长度、等待的时间及服务利用率等指标来衡量系统的性能。 单服务员的排队模型：在某商店有一个售货员，顾客陆续来到，售货员逐个地接 待顾客．当到来的顾客较多时，一部分顾客便须排队等待，被接待后的顾客便离 开商店．设： 1．顾客到来间隔时间服从参数为 0.1 的指数分布． ２．对顾客的服务时间服从［４，１５］上的均匀分布． ３．排队按先到先服务规则，队长无限制． 假定一个工作日为 8 小时，时间以分钟为单位。 [1]模拟一个工作日内完成服务的个数及顾客平均等待时间 t． [2]模拟 100 个工作日，求出平均每日完成服务的个数及每日顾客的平均等待时 间。 [1] 系统的假设： （1） 顾客源是无穷的； （2） 排队的长度没有限制； （ 3） 到达系统的顾客按先后顺序依次进入服务， 即“先到先服务”
c(i)=c(i-1)+x(i); b(i)=max(c(i),e(i-1)); end i=i-2; t=w/i m=i 程序%simu2.m %100个工作日的模拟 clear cs=100; for j=1:cs j w(j)=0; i=2; x(i)=exprnd(10); c(i)=x(i); b(i)=x(i); while b(i)<=480 y(i)=unifrnd(4,15); e(i)=b(i)+y(i); w(j)=w(j)+b(i)-c(i); i=i+1; x(i)=exprnd(10); c(i)=c(i-1)+x(i); b(i)=max(c(i),e(i-1)); end i=i-2; t(j)=w(j)/i; m(j)=i; end
[2] 符号说明 w：总等待时间；ci：第 i 个顾客的到达时刻； bi：第 i 个顾客开始服务时刻； ei：第 i 个顾客服务结束时刻． xi：第 i-1 个顾客与第 i 个顾客之间到达的间隔时间 yi：对第 i 个顾客的服务时间
ci=ci-1+ xi ei=bi+yi bi=max(ci,ei-1)
பைடு நூலகம்
pt=0; pm=0; for j=1:cs pt=pt+t(j); pm=pm+m(j); end pt=pt/cs
pm=pm/cs
3.非线性规划的求解
4.零件参数的设定