近世代数课件-理想与商环
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第二章 环 论
2021/3/4
精选ppt
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目录
§1 环的概念 §2 多项式环
§3 理想与商环
§4 环的同态
§5 交换环
§6 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
2021/3/4
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§3 理想与商环
设 R 是一个环, S 是 R 的一个非空子集.如果 S 关于环 R 的加法“”和乘法“ ”都封闭,那么,将“”和“ ”限制在 S 上,便得到 S 上的加法“”和乘法“ ”.显然,作为 S 上加法 和乘法,“ ”对“”仍适合分配律.
定义 3.1 设 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集.我们 称 R' 是环 R 的一个子环,是指 R' 满足如下条件:
Ⅰ. R' 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ab R', a, b R' ,即 R' 关于环 R 的乘法“ ”封闭.
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§3 理想与商环
注意 (1)若 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集,则
R' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'.
(2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意
元素 a 在 R' 中的负元就是 a 在 R 中的负元.
(3)任何环 R 都有子环,例如,{0} 和 R .{0} 和 R 都称为环 R 的
例 1 整数环 Z 有单位元1.令 R 表示偶数环.则 R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环{0} 以 0 为自己的单位元,{0}是环 R 的子环.
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§3 理想与商环
定义 3.2 设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集. (1)我们称 I 是环 R 的一个左(右)理想,是指 I 满足条 件: Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , aI . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左(右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
ra, ar Iα , α Α, 从而,
ra, ar αΑ Iα . 所以 αΑ Iα 是环 R 的理想.
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§3 理想与商环
(2)设 I 和 J 都是 R 的理想. 首先, I 和 J 都是环 R 的加群的子群.由于交换群的子群 都是正规子群,因此根据第一章§5 习题第 6 题可知, I J 环 R 的加群的子群. 其次,考察任意的 rR 和任意的 uI J :不妨设 u a b ,其中 aI , b J .于是, ra, ar I , rb, br J ,从而,
平凡子环.
若 R' 是环 R 的子环并且 R' 是 R 的真子集,则称 R' 为环 R 的真
子环.
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§3 理想与商环
下面的一些例子告诉我们,当 R' 是一个环 R 的子 环时, R 有单位元,不意味着 R' 有单位元;即使子环 R' 有单位元,子环 R' 的单位元未必就是环 R 的单位 元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R' 一定没有单位 元.
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§3 理想与商环
注意 (1)环 R 的左理想和右理想都是环 R 的子环. (2)任何环 R 都有理想,例如,{0} 和 R ,它们分别称 为环 R 的零理想和单位理想,统称为环 R 的平凡理想. 没有非平凡的理想的环都称为单环.
命题 3.3 设 R 是一个环, I 是 R 的非空子集.则 I 为环 R 的理想的充分必要条件是:
ru r(a b) ra rb I J , ur (a b)r ar br I J . 因此 I J 是环 R 的理想.
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§3 理想与商环
最后,显而易见, I I {0} I J , J {0} J I J ;
对于环 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,由 I 和 J 都是加群 K 的子集可知 I J K .所以 I J 是环 R 的包含 I 和 J 的最 小理想.□
为 R 的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将 ({a1, a2 , , an}) 简记作 (a1, a2 , , an ) .
(3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 aI , 使 得 I (a) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
I J {a b | a I, b J}
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也就是说,对于 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,总有 IJ K.
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§3 理想与商环
证明 (1)设{Iα}αΑ 是 R 的一族理想.于是, αΑ Iα 是 加 群 (R, ) 的 子 群 . 对 于 任 意 的 r R 和 任 意 的 a αΑ Iα ,我们有
有了命题 3.4(1),我们可以引入如下定义: 定义 3.5 (1)设 R 是一个环.对于 R 的任意非空子集 S ,我们将环 R 的包含 S 的最小理想称为环 R 的由 S 生成
的理想,记作 (S) .
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§3 理想与商环
(2)设 I 是环 R 的一个理想.若 S 是 R 的非空子集, 使得 I (S) ,则称 S 为理想 I 的一个生成集.若存在 R 的 有限子集{a1, a2 , , an} ,使得 I ({a1, a2 , , an}) ,则称 I
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则
第二章 环 论
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§1 环的概念 §2 多项式环
§3 理想与商环
§4 环的同态
§5 交换环
§6 整环的因子分解
§7 唯一分解环上的多项式环
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设 R 是一个环, S 是 R 的一个非空子集.如果 S 关于环 R 的加法“”和乘法“ ”都封闭,那么,将“”和“ ”限制在 S 上,便得到 S 上的加法“”和乘法“ ”.显然,作为 S 上加法 和乘法,“ ”对“”仍适合分配律.
定义 3.1 设 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集.我们 称 R' 是环 R 的一个子环,是指 R' 满足如下条件:
Ⅰ. R' 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ab R', a, b R' ,即 R' 关于环 R 的乘法“ ”封闭.
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§3 理想与商环
注意 (1)若 R 是一个环, R' 是 R 的一个非空子集,则
R' 是 R 的子环
a b, ab R' , a, b R' ,并且
R' 关于“”和“ ”构成一个环
a b, ab R' , ab R'.
(2)环 R 的任意子环 R' 的零元就是环 R 的零元;子环 R' 中任意
元素 a 在 R' 中的负元就是 a 在 R 中的负元.
(3)任何环 R 都有子环,例如,{0} 和 R .{0} 和 R 都称为环 R 的
例 1 整数环 Z 有单位元1.令 R 表示偶数环.则 R 是环 Z 的子环,它没有单位元. Z 的平凡子环{0} 以 0 为自己的单位元,{0}是环 R 的子环.
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§3 理想与商环
定义 3.2 设 R 是一个环, I 是 R 的一个非空子集. (1)我们称 I 是环 R 的一个左(右)理想,是指 I 满足条 件: Ⅰ. I 是环 R 的加群的子群; Ⅱ. ra I (相应地, ar I ), r R , aI . (2)我们称 I 是环 R 的一个(双侧)理想,是指 I 既是环 R 的左理想,又是环 R 的右理想. (3)凡是由 R 的真子集构成的 R 的左(右,双侧)理想都 称为环 R 的真左(右,双侧)理想.
ra, ar Iα , α Α, 从而,
ra, ar αΑ Iα . 所以 αΑ Iα 是环 R 的理想.
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§3 理想与商环
(2)设 I 和 J 都是 R 的理想. 首先, I 和 J 都是环 R 的加群的子群.由于交换群的子群 都是正规子群,因此根据第一章§5 习题第 6 题可知, I J 环 R 的加群的子群. 其次,考察任意的 rR 和任意的 uI J :不妨设 u a b ,其中 aI , b J .于是, ra, ar I , rb, br J ,从而,
平凡子环.
若 R' 是环 R 的子环并且 R' 是 R 的真子集,则称 R' 为环 R 的真
子环.
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§3 理想与商环
下面的一些例子告诉我们,当 R' 是一个环 R 的子 环时, R 有单位元,不意味着 R' 有单位元;即使子环 R' 有单位元,子环 R' 的单位元未必就是环 R 的单位 元;环 R 没有单位元不意味着其子环 R' 一定没有单位 元.
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§3 理想与商环
注意 (1)环 R 的左理想和右理想都是环 R 的子环. (2)任何环 R 都有理想,例如,{0} 和 R ,它们分别称 为环 R 的零理想和单位理想,统称为环 R 的平凡理想. 没有非平凡的理想的环都称为单环.
命题 3.3 设 R 是一个环, I 是 R 的非空子集.则 I 为环 R 的理想的充分必要条件是:
ru r(a b) ra rb I J , ur (a b)r ar br I J . 因此 I J 是环 R 的理想.
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§3 理想与商环
最后,显而易见, I I {0} I J , J {0} J I J ;
对于环 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,由 I 和 J 都是加群 K 的子集可知 I J K .所以 I J 是环 R 的包含 I 和 J 的最 小理想.□
为 R 的一个有限生成的理想;不致混淆时,可将 ({a1, a2 , , an}) 简记作 (a1, a2 , , an ) .
(3) 设 I 是 环 R 的 一 个 理 想 . 若 存 在 aI , 使 得 I (a) ,则称 I 为环 R 的主理想,并称 a 为理想 I 的一个
I J {a b | a I, b J}
也是环 R 的理想,而且是环 R 的包含 I 和 J 的最小理想, 也就是说,对于 R 的任何包含 I 和 J 的理想 K ,总有 IJ K.
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§3 理想与商环
证明 (1)设{Iα}αΑ 是 R 的一族理想.于是, αΑ Iα 是 加 群 (R, ) 的 子 群 . 对 于 任 意 的 r R 和 任 意 的 a αΑ Iα ,我们有
有了命题 3.4(1),我们可以引入如下定义: 定义 3.5 (1)设 R 是一个环.对于 R 的任意非空子集 S ,我们将环 R 的包含 S 的最小理想称为环 R 的由 S 生成
的理想,记作 (S) .
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§3 理想与商环
(2)设 I 是环 R 的一个理想.若 S 是 R 的非空子集, 使得 I (S) ,则称 S 为理想 I 的一个生成集.若存在 R 的 有限子集{a1, a2 , , an} ,使得 I ({a1, a2 , , an}) ,则称 I
Ⅰ. a b I , a, b I ; Ⅱ. ra, ar I , r R , aI .□
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§3 理想与商环
命题 3.4 设 R 是一个环. (1)若 {Iα}αΑ 是环 R 的一族理想,则 αΑ Iα 也是环 R 的理想. (2)若 I 和 J 都是环 R 的理想,则