大涡模拟

大涡模拟,英文简称LES(Large eddy simulation),是近几十年才发展起来的一个流体力学中重要的数值模拟研究方法。

它区别于直接数值模拟(DNS)和雷诺平均(RANS)方法。

其基本思想是通过精确求解某个尺度以上所有湍流尺度的运动，从而能够捕捉到RANS方法所无能为力的许多非稳态，非平衡过程中出现的大尺度效应和拟序结构，同时又克服了直接数值模拟由于需要求解所有湍流尺度而带来的巨大计算开销的问题，因而被认为是最具有潜力的湍流数值模拟发展方向。

由于计算耗费依然很大，目前大涡模拟还无法在工程上广泛应用，但是大涡模拟技术对于研究许多流动机理问题提供了更为可靠的手段，可为流动控制提供理论基础，并可为工程上广泛应用的RANS方法改进提供指导。

大涡模拟方法
其主要思想是大涡结构（又称拟序结构）受流场影响较大，小尺度涡则可以认为是各向同性的，因而可以将大涡计算与小涡计算分开处理，并用统一的模型计算小涡。

在这个思想下，大涡模拟通过滤波处理，首先将小于某个尺度的旋涡从流场中过滤掉，只计算大涡，然后通过求解附加方程得到小涡的解。

过滤尺度一般就取为网格尺度。

显然这种方法比直接求解RANS 方程和DNS 方程效率更高，消耗系统资源更少，但却比湍流模型方法更精确。

大涡模拟的基本操作就是低通滤波。

一个LES滤波器可以被用在时空场Φ（x,t）中实现时间滤波或空间滤波或时空滤波
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大涡模拟理论及应用
紊流力学
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一、概述
实际水利工程中的水流流动几乎都是湍流。

湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名的难题。

100 多年来无数科学家投身到它的研究当中，从1883 年Reynolds 开始的层流过渡到湍流的著名圆管实验到现在，对湍流的基础理论研究呈现出多个分支，其主要方向有：湍流稳定性理沦、湍流统计理论、湍流模式理论、湍流实验、切变湍流的逆序结构、湍流的大涡模拟和湍流的直接数值模拟。

在这些方向当中，比较有代表性的是湍流模式理论。

但它的平均运算却将脉动运动的全部行为细节一律抹平，丢失了包含在脉动运动中的大量有重要意义的信息，而且各种湍流模型都有一定的局限性、对经验数据非常依赖、预报程度较差。

近代计算机技术的飞速发展给人们提供了解决湍流问题的新途径，公认比较有前途的是大涡模拟和直接数值模拟。

但由于受到计算机速度和容量的限制，直接数值模拟还仅限于低雷诺数的流动，对于高雷诺数的完全数值模拟目前还不可能。

而大涡模拟是介于直接数值模拟和湍流模式理论之间的折衷物，由于其具有较少的计算消耗和较高的计算精度，正显示出越来越强的生命力。

二、大涡模拟
1、大涡模拟的发展历史1963 年Smagorinsky 首次提出了大涡模拟模型。

此方法第一次用于解决工程水流问题是由气象学家Deardorff 在1970 年完成的，他用大涡模拟法模拟了槽道中的流体流动。

在70 年代，Ferziger 引入类同于时均处理方法中的湍动能和耗散率概念，计入涡尺度对涡粘性系数的影响，改正了Smagorinsky 的计算公式。

1991 年，Germano 等提出动态模型，使Smagorinsky 模型具有自率定效应。

1995 年，Ghosal 等提出动态局部模型，解决了Germano 模型中非均匀各向同性应用中数学不一致的问题，进一步发展了涡粘性模型。

我国虽然在这方面起步较晚，但也取得了一定的成果。

我国学者苏铭德在1986 年提出了大涡模拟中的代数应力模型，并用其计算了平直槽道和弯曲槽道内的湍流流动。

2、大涡模拟的基本思想我们知道，湍流运动是由许多大小不同的旋涡组成的。

那些大旋涡对于平均流动
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有比较明显的影响，而那些小旋涡通过非线性作用对大尺度运动产生影响。

大量的质量、热量、动量、能量交换是通过大涡实现的，小涡的作用表现为耗散。

流场的形状，阻碍物的存在，对大旋涡有比较大的影响，使它具有更明显的各向异性。

小旋涡则不然，它们有更多的共性，更接近各向同性，因而较易于建立有普遍意义的模型。

基于上述物理基础，人们形成了大涡模拟思想：把湍流运动分成大尺度和小
尺度两部分运动，小尺度量通过模型建立与大尺度量的关系，大尺度量通过数值计算得到。

很明显，只要尺度足够小，小尺度量模型将会具有更多的普遍性，大涡模拟更加有效。

3、大涡模拟的滤波函数大涡模拟第一步就是把一切流动变量划分成大尺度量和小尺度量，这一过程称之为滤波。

滤波运算相当于在一定区间内按一定条件对函数进行加权平均，其目的是滤掉高波数而只保留低波数，截断波数的最大波长由滤波函数的特征尺度决定。

目前较为常用的滤波函数主要有以下三种：Deardorff 的盒式(BOX)滤波函数、富氏截断滤波函数和高斯(Gauss)滤波函数。

过滤的N-S 方程LES 方程通过傅立叶或空间域N-S 方程滤掉时间项得到，筛选过程，可以有效的滤掉比过滤网格小的漩涡，从而得到大涡的动量方程。

经过过滤的变量定义为：
φ(x)= ∫ φ (x ' )G (x, x ' )dx '
D
其中：D 为流场区域，G 为决定过滤尺寸的函数。

在FLUENT 中有限体积离散化本身就提供了过滤操作，定义如下：
φ(x)=
其中：V 为计算单元的体积。

过滤函数G (x, x ' ) 定义如下：
1 ' ' ' ∫ φ (x )dx , x ∈υ Vυ
G (x, x ' ) = ⎨
⎧ 1/ V , x ' ∈υ ⎪⎪0, ⎩
x ' ∈otherwise
但是用LES 去计算可压缩流体还不现实，这个理论主要用于不可压缩
流体，可以认为，FLUENT 将采用LES 模型来解决不可压缩流体。

过滤不可压缩N-S 方程，将得到以下方程：
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∂ρ ∂ + ( ρ ui ) = 0 ∂t ∂xi
∂σ ∂ ∂ ∂ ∂p ∂τ ij ( ρ ui ) + ( ρ ui u j ) = ( µ ij ) − − ∂t ∂x j ∂x j ∂x j ∂xi ∂x j
⎡∂u ∂u j ⎤2 ∂ui 其中：σ ij 为应力张量，由分子粘度定义为：σ ij ≡⎢ µ ( i + )⎥− µ δ ij ；⎢∂x j ∂xi ⎥ 3 ∂xi ⎣⎦
τ ij 为亚网格应力，定义为：τ ij ≡ ρ ui u j − ρ ui u j
很明显，这几个方程是类似的，其不同之处在于所依赖的变量为过滤后的量，而不是平均量，同时张力表达式不同。

4、大涡模拟的亚格子模型FLUENT 中的亚格子湍流模型与雷诺平均(RANS)模型一样，采用了Boussinesq 假定，计算亚格子应力可以采用下面的公式：
1 τ ij − τ kkδ ij = −2µt sij 3
其中：µt 为亚网格湍流粘性力；
τ kk 为亚网格尺度各向同性的一部分；sij 为应力张量的速率，定义为：sij ≡
1 ∂ui ∂u j ( + )。

2 ∂x j ∂xi
对于可压缩流动，可以很方便地引入密度加权(Favre)的过滤操作，如下式：
φ=
ρφ ρ
过滤过的N-S 方程的密度加权公式在形式上与过滤不可压缩N-S 方程得到的方程相同，压缩形式的亚格子应力张量定义为：
Tij = − ρ ui u j + ρ ui u j
亚格子应力张量可分为正应力和偏应力两项，如下式所示：
1 1 Tij = Tij − Tllδ ij + Tllδ ij 3 ��3 ������
偏应力正应力
亚网格偏应力张量可仿照压缩的Smagorinsky 模型，公式如下：
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1 1 Tij − Tllδ ij =2µt (δ ij − δ iiδ ij ) 3 3
对于不可压缩流动，涉及Tll 的项可长期添加到过滤压力或干脆忽略。

事实上，这一项可被重新写为Tll =γ M 2 aga p ，这里M aga 是亚格子的马赫数，当湍流马赫数流动的数量很少时，这个亚格子马赫数比预期的要小。

FLUENT 中提供了四个关于µt 的模型：Smagorinsky-Lilly 模型、动态Smagorinsky-Lilly 模型、WALE 模型和动态动能亚网格模型。

亚格子尺度湍流通量的一个标量，φ ，是仿照使用S 亚格子尺度湍流的普朗特数
qj = −
其中：q j 为亚网格尺度通量。

µt ∂φ σ t ∂x j
在动态模型中，亚格子尺度湍流普朗特数或施密特数，通过运用由格尔曼诺提出的亚格子尺度通量得到。

（1）Smagorinsky-Lilly 模型这个简单的模型首次由Smagorinsky 提出，Smagorinsky-Lilly 模型中涡粘度定在义如下：
µt = ρ Ls 2 S
其中：Ls 为网格的混合长度，并且S ≡ 2 Sij Sij 。

在FLUENT 中，Ls 的计算公式为：Ls = min(kd , CsV 1 3 ) ，其中k 为von Ka ′rma ′n d V Lilly 常数，为到最近的壁面的距离，Cs 为Smagorinsky 常数，为计算单元的体积。

通过在惯性区域的类似湍流计算得到Cs 值为0.17，然而这个值在平均剪切力出现时或流场过渡区引起很大的阻尼振动，简而言之，Cs 不是一个简单的常数。

尽管如此，
Cs = 0.1 对大部分流动来说是一个理想的值，目前FLUENT 采用这个值。

2 （2）动态Smagorinsky-Lilly 模型Germano 等和Lilly 先后提出并发展了动态亚格子模型，在这个模型里
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Smagorinsky 模型常数Cs 是根据运动解析尺度提供的信息动态计算的。

这样的动态亚格子模型消除了用户需要预先指定的模型常数Cs 。

在
FLUENT 中使用该模型的详细资料和该模型的验证信息都可以找到。

使用动态Smagorinsky-Lilly 模型获得的Cs 常数在时间和空间变化较大。

为了避免在FLUENT 的数值不稳定，Cs 在零点截断，并且默认为0.23。

3 WALE WALE）模型（3）壁挂式本地涡粘度（WALE 在WALE 模型中，涡粘度由下式计算：
d d ( Sij Sij )3 2 µt = ρ Ls d d ( Sij Sij )5 2 + (Sij Sij )5 4
2
d 其中：Ls 和Sij 在WALE 模型中分别定义如下：
Ls = min(kd , CωV 1 3 )
∂u 1 2 1 d 2 Sij = ( gij + g 2 ) − δ ij g kk , gij = i ji 2 3 ∂x j
在FLUENT 中，默认的WALE 常数Cω 是0.325，发现将它用于流量范围跨度大的地方能取的很满意的效果。

其余符号的含义与Smagorinsky-Lilly 模型相同。

结合这个，WALE 模型返回了正确的壁墙界流动的渐进行为。

4 （4）动态动能亚网格模型原来的和动态的Smagorinsky-Lilly 模型，如前所述，本质上是代数模型，在这里亚格子尺度应力已经参数化应用解析的尺度。

其基本假设是平衡通过电网过滤器能量传递的规模和小亚网格尺度耗散的动能，亚网格尺度湍流能够较好的模拟亚格子尺度湍流动能的输送。

在FLUENT 中，动态亚格子尺度动能模型引用了Kim 和Menon 的模型。

亚网格尺度动能定义如下：
1 2 ksgs = (uk − uk2 ) 2
这是获得收缩公式τ ij ≡ ρ ui u j − ρ ui u j 的亚格子尺度应力。

亚网格尺
度涡粘度µt ，作为计算ksgs 使用，如下式：
µt = Ck k 1 2 ∆ f sgs
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其中：∆ f 是过滤器的尺寸，定义为：∆ f ≡ V 1 3 。

则亚格子尺度应力可写成下式：
2 τ ij − ksgsδ ij = −2Ck k 1 2 ∆ f Sij sgs 3
这里ksgs 通过求解其输运方程得到，如下：
3 k sgs2 ∂ µt ∂ksgs ∂ksgs ∂u j ksgs∂ui + = −τ ij −C + ( ) ∂t ∂x j ∂x j ε ∆ f ∂x j σ k ∂x j
在上述的方程组中，模型常数Ck 和Cε是动态的，σ k 规定为1.0。

该模型在FLUENT 中的实施细节已由Kim 给出。

LES 5、LES 模型的边界条件有随机扰动理论，在指定速度进口的边界处，流动的速度组成可表示为：
ui =< ui > + Iψ u
其中：I 为波动强度；
ψ 为Gaussion 随机数，定义为：ψ =0 和ψ ' = 1 。

如果网格划分得很好，则可由薄壁面应力——张力间的关系得到如下的壁面剪切力方程：
u ρ uτ y = uτ µ
如果网格划分很粗糙，则不能解决薄壁面的流动情况，可以假定与壁面相邻的网格单元的质心处于边界层的对流区域，其方程可表达为：
ρu y u 1 = ln E ( τ ) uτ k µ
其中：k 为von Ka ′rma ′n 常数，E=9.793。

三、大涡模拟的应用
这里主要介绍大涡模拟在水利行业中的应用，主要分为明渠流动、明渠后台阶跌坎流动、丁坝、水利消能设施等方向。

下面对这些方面的应用一一加以阐述。

1、明渠流动Thomas 等用大涡模拟方法计算了雷诺数为3000 的明渠流动。

这对于了解明渠流
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动的结构、自由面附近湍流受阻尼影响和湍流发展规律作出了积极贡献。

何子干等进行了高雷诺数和粗糙壁方面的研究。

他采用大涡模拟方法和标准的Smagorinsky 亚格子模式模拟了光滑及粗糙的明渠湍流流动。

雷诺数(以槽高为参考长度)分别为3000，22800 和105，用有限体积法离散，自由面的处理使用了刚盖假定，固壁面采用了壁函数。

结果表明：低雷诺数下与直接模拟的相应结果吻合较好，另外两种雷诺数下与实验结果吻合较好，而且模拟结果呈现了良好的预测结果，估计的湍流宏尺度证实了固壁附近台劳假设的局限性。

但即使是简单外形的明渠流动，其流动也非常复杂，Handler 的研究表明：在明渠固壁附近
沿展向会间隔地出现发夹涡，自由面会抑制湍流的发展，如果网格尺寸选择不好，计算结果仍可能与实际有较大偏离，从而影响预报的准确性，甚至产生严重失真。

针对这一问题，何子干等把计算网格、计算域大小、亚格子模型以及雷诺数等因素对大涡模拟预报精度的影响进行了实验，研究表明：网格尺寸及匹配对大涡模拟有较大影响，应在具体使用中给予充分重视；只有在保持物理现象不变的条件下，精细划分网格才有意义；实际应用大涡模拟时，Dynami-cal SGS 模型较Smagorinsky SGS 模型更方便，但其数学模型对网格尺寸及匹配更敏感。

2、明渠后台阶跌坎流动刘沛清等采用弱可压缩流运动方程，BOX 滤波函数，标准的Smagorinsky 亚格子模式以及非均匀网格系统对明渠中跌坎后突扩分离流进行了数值模拟。

为了与实验结果对比，他选用了与Nakag-awa 等的实验一样的 4 种流动条件。

结果表明：所得出的预报结果是合理的、可行的，对揭示坎后分离流复杂流场结构具有一定的参考价值。

马贵阳等使用了二维形式的大涡模拟，Gauss 滤波函数，标准的Smagorinsky 模式，采用三步有限元法进行离散和42×76 的非均匀三角形三节点单元网格系统对雷诺数Re=5.5×105 的后台阶流进行了模拟，所得实验结果与有关实验资料吻合较好，并且计算时间相对较省。

3、丁坝周宜林通过大涡数值模拟研究了淹没丁坝附近的水流特性，其基本方程采用Leisur 等总结了的大涡模拟数学方程，由Smagorinsky 模型得到小尺度涡粘性系数，而整个数值计算方法是建立在有限差分和交错网格基础上。

实验结果表明：该数值方法能够准确模拟丁坝附近水流运动。

通过比较 3 种丁坝附近水流特性可知，
60°丁坝下游平面涡及纵断面逆向流最短，120°丁坝下游平面涡及纵断面逆向流较长。

从护岸角度出发，下挑丁坝是比较经济合理的。

蒋昌波等采用二维形式的大涡模拟方法，利
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用较简单的Smagorinsky 子涡模型封闭水流运动方程组，建立了非淹没群丁坝绕流的平面二维数学模型。

方程在空间上采用控制体积法离散，时间上采用MacCormark 预测——校正进行计算，计算结果成功的模拟出丁坝上下游各涡的特征量及流场情况，与水槽试验的实测资料基本吻合，并在一定程度上反映了绕流流场、水面线和各涡的变化规律。

4、水利消能设施Qu 等采用大涡模拟方法对消能孔板流场及空化现象进行了数值模拟，计算采用了弱可压缩流运动方程，用有限体积法将控制方程在控制体上积分，亚格子模型采用标准的Smagorinsky 模式。

计算所得的压力分布及空化特性与减压模型实验结果吻合良好，采用弱压缩流理论计算出的各级孔板的空化发生点的位置，所预测的空化发生情况和减压模型实验结果一致。

吕阳泉等使用了二维形式的大涡模拟方法，控制方程也选用了弱可压缩流运动方程，亚格子模型采用标准的Smagorinsky 模式，结合乌江构皮滩水利枢纽工程，对水垫塘内的冲击射流流速场和压力场进行了研究。

计算结果与试验研究成果基本吻合，能够满足工程问题的需要。

刘沛清等也采用弱可压缩流运动
方程、BOX 滤波函数、标准的Smagorinsky 模式以及用贴体坐标技术生成网格来对三峡溢流坝下游平衡冲刷坑内的二维流场结构进行了数值模拟，模拟结果与部分实验资料比较表明，此预报结果是合理、可行的，对揭示冲刷坑内复杂的流场结构和水垫的消能机理具有一定的参考价值。

四、结语
虽然大涡模拟从提出到现在才几十年的时间，但却显示出了巨大的优越性，较其他模式显现出了它无可比拟的优势。

它在计算量小于直接数值模拟很多的情况下达到了很高的精度要求，同时它又保持了水流的随机性的特点，比湍流模式理论更加符合实际情况，在计算网格的大小如何适度等问题上还有待于进一步研究。

但大涡模拟代表着数值模拟的方向，随着计算机技术的发展，大涡模拟的应用将会越来越广泛，在水利中的应用也会进一步加强，成为解决水利工程中的湍流问题的最有效手段之一。

水研2010 级。