高三复习专题12超越函数解决策略分析

高三复习专题12 超越函数解决策略

知识点：

y

e x 与 y

ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常

重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x

x 1 与ln x x 1导数放缩的重要工具之外，

另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略.

一.常见图像及其性质：

1.y

xe x

性质：

2. x

e x

y =

性质：

3.x

e y x

=

性质：

4. y

x ln x

性质：

5.x

x

y ln =

性质：

6.x

x

y ln =

题组1.y

xe x

1.已知函数x

e a

x x f +-=1)(，（e R a ,∉是自然底数）

（1）求函数 f (x ) 的极值；

（2）当 a

1的值时，若直线 l : y

kx 1与曲线 y f (x ) 没有公共点，求 k 的最大值.

提示（1）略（2）1=k 2.已知函数 1ln )(-+

=x

a

x x f ，

a R

（1）若函数 f (x ) 的最小值为 0，求 a 的值；（1=a ）

（2）证明： e x

(ln x 1) sin x

0 ．略

题组2x e

x y =

1.已知函数f x x ae x a R

，x R .讨论)

(x

f的零点个数.

2.已知函数f x a e

2 x a 2e x x . （1）讨论f x的单调性

（2）若f x有两个零点，求a的取值围

题组3.x

e y x

=

1.已知函数

x

e ax x

f -=2)( a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数.

2.证明： e

x

ex ln x

ex 2 3.设函数 f (x )

ax 2

a

ln x ，,1)(x e

e

x x g -=

其中a R ，

（1）讨论 f (x ) 的单调性； （2）证明：当 x 1 时， g (x ) 0

（3）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) g (x ) 在区间 (1, ) 恒成立．

题组4x x y ln =

1.设函数x

be x ae x f x x

1

ln )(-+=，曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(+-=x e y .

证明：.1)(>x f 2.已知函数x

a

x x x f +-

=ln )(. （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）证明：1)1ln(11<+<+x

x x .

题组5x x y ln =

1.设,,x y z 为正数，且235x

y

z

==，则( )

A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x <<

D ．325y x z <<

2.已知函数11)1(ln )(=+++=x x b x a x f 的图像在处的切线方程032+-+y x . （1）求b a ,的值.

（2）当0>x 时，恒有x x ln >

（3）证明：对任意的0>M ,总存在正数0x ，使得0x x >时，恒有x M x ln >.

题组6x x y ln =

1.已知已知

是圆周率， e 为自然对数的底数．x

x

x f ln )(=

（1）求 e 3

， 3e ，

e

， e ，

3， 3 这 6 个数中最大数和最小数； （2）将 e

3

， 3

e ，

e

，

e ，

3

，

3

这 6 个数按时从小到大的顺序

排序，并证明你的结论

2.设函数 f (x ) ln x

ax ， g (x )

e x

ax ，其中 a 为实数．

（1）若 f (x ) 在 (1,

) 上是单调减函数，且 g (x ) 在 (1,

) 上有最小值，求 a 的

取值围；

（2）若 g ( x ) 在 (1,

) 上是单调增函数， 试求 f (x ) 的零点个数，并证明你的结论．

《高三数学复习专题系列之培优课程》

1.导数预热

2.单调性含参分类讨论策略

3.极限与洛必达的应用

4.二阶导的目的及处理

5.极值问题

6.最值问题

7.切线、公切线常见套路

8.距离问题

9.零点和端点效应

10.隐零点处理方法

11.三次函数的五个题型

12.超越函数处理策略

13.任意存在性问题

14.导数中的构造函数

15.极值点偏移问题（1）（2）

16.放缩法证明不等式

17.数列不等式的证明