备份森林火灾等数学建模

数学建模作业

姓名:任晓学号:200913138036 班级:软件工程0902班

（一）测人体血量

【问题的提出】

通过某种方法测量人体内血液的总量。

【问题的分析】

首先，将酒精含量视为血药浓度，借用药物动力学的房室模型，将酒精在肠胃的吸收过程和在血液中的分解过程抽象为吸收室和中心室里所发生的作用，运用微分方程理论推导出了吸收速率和分解速率随时间变化的规律（,），并用回归分析方法结合题述经验数据具体导出一人在未喝过酒的情况下，饮入2瓶啤酒的血液中酒精含量与时间的关系模型。

【模型的建立】

假设人体的密度是均匀的，让某健康的人喝一定质量的酒精，并且假设酒精进入人体后马上均匀分布，并且血液和体液的酒精浓度是一样的。抽取此人V1ml的血液样本，用测量酒后驾驶测酒精含量的仪器测出样本中的酒精的浓度为假设为n g/ml。假设已知的酒精的密度为P g/ml。

V1/V=n/P；

算出人体的血液的含量为V=V1*P/n;

【结果分析】

这只是个大约算出的血液含量不是很准确，但是估算基本上可以。

(二) 森林火灾

【问题的提出】

某森林发生火灾，接到报警后，消防站立即派出消防队员进行灭火，但具体派多少队员呢？派出的队员越多，森林的损失越小，但救援的开支会越大；反之森林的损失会加大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系。

【问题的分析】

假设森林燃烧的损失费正比于森林烧毁面积，其比例系数为1c。而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数.救援费分为两部分：每个消防队员单位时间

的费用，设为2c ；每个队员的一次性支出，设为

3

c 。又假定火势蔓延程度及平均每个消防

队员的灭火能力与火势有关。进而解决派出消防队员多少时总费用（即损失费、救援费之和）最小。

记失火时刻为0=t ，开始灭火时刻为1t t =，火被扑灭时刻为2t t =。设在时刻t 森林烧毁面积为()t B ，则森林最终烧毁面积为()2t B ，并且()00=B 。

考虑单位时间烧毁面积

()()t

t B t t B dt dB ∆-∆+≈00，它表示火势蔓延程度。一般来说，在消防队员到达之前，即10t t ≤≤，火势越来越大，即

dt

dB

随t 的增加而增加；开始灭火后，即21t t t ≤<.如果消防队员灭火能力足够强，火势将越来越小，即dt

dB

应减小，并且当2

t t =时0=dt

dB 。 对于火势可抽象为：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径r 与时间t 成正比。又因为烧毁面积B 与2r 成正比，故B 与2t 成正比，从而dt

dB

与t 成正比。

⎩⎨

⎧每队员一次性支出

每队员单位时间内费用

费总费用＝损失费＋救援 【模型假设】

1. 假设森林面积无限大，火势以失火点为中心，均匀速度向四周呈圆形蔓延，且时刻t 的森林烧毁面积为()t B 。

2. 设失火时刻为0=t ，开始灭火时刻为1t t =，火被扑灭时刻为2t t =，又设在10t t ≤≤内，火势蔓延程度

dt

dB

与时间t 成正比，比例系数β称为火势蔓延速度。 3. 设派出消防队员x 名，开始灭火后()1t t ≥火势蔓延速度降为x λβ-。这里λ可视为每个队员的平均灭火速度。

【模型的建立】

由于每个消防队员单位时间的费用为2c ，而每个队员的一次性支出为3c ，于是

()x c t t x c 3122+-救援费＝

由条件知： ()21t B c 损失费＝

又由假设2、3知：

()⎪⎩

⎪⎨

⎧===0,0t t B t dt dB

β 10t t ≤≤…………………………………………① ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==,0,2

t t dt dB c t x dt

dB

λβ ()2121211t t B t t t t t β=≤≤=………………………②

()21--c t x λβ=∴. 求解上述两微分方程，得

()22

1

t t B β=

10t t ≤≤ ()()()c t t x t x t B '+---=22

2λβλβ 21t t t ≤≤

()212

12

t t x t

x c λβλ-+='

()

()()2

22

222

t x t x t B λβλβ---=+()212

12t t x t x λβλ-+

()2

2)(2

1212t t t x ββλ+--=

又由①、②当1t t =时,有

()()121t t x t x βλβλβ

=---

x

t t t λββ-=

-∴1

21 于是 ()

()2

22

12122t x t t B ββλβ+

-= 故总费用为()()()x c t t x c x t c t c x C 31222

1

212

1122+-+-+=βλββ

问题归结为：已知1321,,,,,t c c c λβ，求x 使()x C 取最小值.

【模型的求解】

将x 连续化()

()()2

1212322

1212x x t c x t c c x t c dx dC

λββλβλββλλβ---++--= ()

2

1

222

121322βλβλβ---+

=x t c t c c

令0=dx

dC

,解得λβ

λ

βλβ++=2

31222

12122c t c t c x 【结果分析】

1. 关于()t B 的几何求解

t dt

dB

~图形为：

()ττd d dB

t B t

⎰

=0

是图中 阴影部分面积.

而()⎰

=2

02t dt dt

dB

t B 是图中三角形的面积. 令b dt

dB t t ==1，容易求得()()

βλ-+=

x b bt t B 222

12. 2. 最后的x 要取整（这是由于离散的x 连续化之故）. 3. 结果表明：队员人数x 由两部分组成：

一部分是灭火人数的最低限度：

βλλ

β

λ

β>⇒>

x x ,, 此时斜率为βλ-x 的直线才会与t 轴有交点2t .

另一部分是最低限度之上的人数，它与问题的各个参数有关，且可看出其变化规律. 4. 实际应用中，321,,c c c 是已知常数，β是森林类型有关的量，λ是队员素质有关的量，火势1t b β=

5. 实际上，消防队员的灭火速度λ与开始灭火时的火势1t b β=有关，可以合理地假设