无穷小量与无穷大量的比较
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§5 无穷小量与无穷大量的比较
先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞
n x ＝0，lim n →∞
n
y ＝0．
考虑n n
n y x ∞→lim
可能出现各种情形：
0lim ≠=∞→c y x n
n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n
n n y x ， n x ＝21
n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n
n n y x lim ， n x n 1=，21
n y n =
n n n y x ∞→lim 不存在 n
n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1
n ， n n n y x
∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝
[1(1)]n n +-，n y ＝21
n
， 这时
n n
x y ＝[1(1)]n
n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。
定义3.10 设lim n →∞
n x ＝0，lim n →∞
n y ＝0．
(1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 || || n n x y ≤B ， 则称n x 与n y 是同阶的无穷小量； (2)若lim n →∞ n n x y ＝1，则称n x 与n y 为等价的无穷小量，记为n x ～n y ； (3)若lim n →∞ n n x y ＝0，则称n x 为较n y 高阶的无穷小量，或称n y 是较n x 低阶的无穷 小最．记为 n x ＝o(n y )． 自然地，符号)1(o x n =，就表示n x 为无穷小量。 n x 与n y 是同阶无穷小量⇔若存在A >0，B >0及正整数N ， 使得当n N >时，