人教版数学备课资料组合恒等式的几种证明方法

组合恒等式的几种证明方法

对于组合数恒等式的证明无固定的方法，使得人们常感到无从下手，下面介绍证明组合恒等式的几种方法，供读者参考．

一、构造组合模型

例1 求证：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2= nC 112--n n ．

证明：构造组合模型如下：

从n 个男学生及n 个女学生中，选出n 个学生组成一个代表团，其中男学生至少有1名，并在其中选择1名男学生为团长，问有多少种不同的选法？

选法一：按选出的男学生人数k 分类，男学生选法有C k n 种，女学生选法有

C k

n n -= C k n 种，团长的选法有k 种．

故完成这件事情的选法有kC k n C k n n -= k(C k n )2

种，

令k =1，2，…，n ，则符合条件的选法总数为：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2．

选法二：从n 个男同学中选出团长有n 种方法，然后在剩下的2n －1个学生

中选出(n －1)个团员有C 112--n n 种，由乘法原理共有nC 1

12--n n 种选法．

比较上述两种结果，得：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2= nC 1

12--n n ． 例2 求证：(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2．

证明：设集合A ={a 1，a 2，…，a n }，集合B ={b 1，b 2，…，b n }． 选法一：从A B 中的2n 个不同元素中选取出n 个元素的组合数为：C n n 2． 选法二：从A 中不取元素，从B 中取n 个元素；从A 中取1个元素，B 中

取n －1个元素，…；从A 中取n 个元素，B 中取0个元素，当注意到C m n = C m

n n

-．由加法和乘法原理知共有：

C 0n C n n ＋C 1n C 1

-n n ＋…＋C n n C 0n = (C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2．

比较上述两种选法，有 (C 0n )2

＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2． 例3 求证：C 1+m n +C 1-m n +2C m n = C 12++m n ．

证明：设集合A= {a 1， a 2，…，a 2+n }．

从集合A 中的n ＋2个不同元素中任取m +1个元素的组合数为C 12++m n ．

满足条件的组合数分成三类：

一类为a 1+n ，a 2+n 都不取的，有C 1+m n ； 一类为a 1+n ，a 2+n 都取的，有C 1-m n

； 一类为a 1+n ，a 2+n 只取其中一个的，有2C m n ．

由加法原理知：C 1+m n +C 1-m n +2C m n = C 12++m n ．

二、比较系数法

例4 求证：(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2．

证明：在(1+ x)n ·(1+ x)n 的展开式中含x n 的系数是(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋

(C n n )2

．

在(1 + x)n 2的展开式中含x n 的系数是C n n 2．比较x n

的系数，易得： (C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2．

例5 求证：C k n ＋C 1-k n C 1m ＋…＋C 1n C 1-k m ＋C k m = C k m n +．

证明：∵(1＋x)n ·(1＋x)m = (1＋x)n m +

比较x k 项的系数，右边展开式中的x k 的系数显然是C k m n +,

左边= (1 + x)n ·(1 + x)m = (C 0n + C 1n x + C 2n x 2+…+ C n n x n )(C 0m + C 1m x + C 2m x 2+…+ C m m x m

)，

由多项式的乘法知x k 的系数是：C k n + C 1-k n C 1

m +…+ C k m ， 由两边x k 的系数相等，可得：C k n ＋C 1-k n C 1m ＋…＋C k m = C k m n +．

三、利用组合数性质

用组合数公式可以证明kC k n = nC 1

1--k n (证明略)，

利用这一公式证明组合恒等式十分简便．

例6 求证：C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋(n ＋1)C n n = (n ＋2) ·

21-n ． 证明：C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋(n ＋1)C n n = (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＋( C 1n ＋2C 2n ＋…＋nC n

n )

= (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n )＋n(C 01-n ＋ C 11-n ＋…＋C 11--n n ) = 2n

＋n·

21-n = (n ＋2) ·21-n ．

例7 求证：C 0n ＋21C 1n ＋31C 2n ＋…＋11+n C n n =1

1

+n (21+n －1) ． 证明：∵(k ＋1)C 11++k n = (n ＋1)C k n ．∴11+n C 1

1++k n =1

1+k C k n

∴C 0n ＋21C 1n ＋31C 2n ＋…＋11+n C n n =11+n (C 11+n ＋C 21+n ＋C 3

1+n ＋…＋

C 1

1++n n )=

1

1+n (21+n －1)． 四、构造概率模型

例7 求证：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n = 2n ．

证明：设事件A 在一次试验中发生的概率为2

1

，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率是：

P A (k) = C k n (

21)k ·(1－21)k n -=n 2

1C k n ． 令 k = 0，1，2，…，n ，并求和得：n 21C 0n ＋n 21C 1n

＋…＋n 21C n

n = 1， 即 C 0n ＋C 1n ＋C 2n +…+ C n n =2n

．

例8 求证：(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2= C n n 2．

证明：设一个口袋中有n 个白球，n 个红球，任取n 个球，求A ={至少有一个白球}的概率．