文科数学专题_概率与统计复习

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考点6 古典概型与几何概型综合
例3 已知函数f x ax 2 2bx a( a，b R )．
1 若a是从集合0,1, 2,3中任取的一个元素，b是从集合 0,1, 2,3中任取的一个元素，求方程f x 0恰有两个
不等实根的概率；
2 若a是从区间0, 2中任取的一个数，b是从区间 0,3中 任取的一个数，求方程f x 0没有实根的概率．
切入点： 1 转化为古典概型； 2 转化为几何概型．
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解析 是：
(1)a取自集合 0,1, 2,3中的任意一个元素，b取
自集合 0,1, 2,3中的任意一个元素，则a，b的取值情况
0, 0 0,1， 0, 2， 0,3， 1, 01,1， 1, 2， 1,3， 2, 0 2,1， 2, 2 ， 2,3， 3, 0 3,1， 3, 2， 3,3．
150、 150、 400、 300名学生，为了解学生的就业倾向，用分 层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调 查，应在丙专业抽取的学生人数为 ________ ．
源自文库
切入点： 1 抓住频数与频率的关系； n 2 理解分层抽样在各层抽取的比例都相同，均为 . N
3
解析 1 频数为200 1 2 0.05 0.02 0.15 0.19 36. 4 由400 ，得在丙专业应抽取的学生人数为16. 100 答案：(1)B (2)16
专题 概率与统计
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考点1 三种抽样方法与概率分布直方图
例1 1 (2011 湖北卷)有一个容量为200的样本，其频率分 布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计， 样本数据落在区间10,12内的频数为( ) A． 18 B． 36 C． 54 D． 72
2
2 (2011 山东卷)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有
2 由已知 | m n | 5，即 a 1 b 2
2
2
25，
也就是点(a，b)与(1， 2)的距离不大于5，即点(a，b)在以 点(1， 2)为圆心，以5为半径的圆内或圆上． 如图可知，在圆上有3个点： 1,3， 4, 2 ， 5,1；在圆内有7 个点： 1,1， 1, 2 ， 2,1， 2, 2 ， 3,1，
600 . 该次数学考试中成绩小于60分的学生数是______
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变式2(2009 佛山二模)某市在每年的春节后，市政府 都会发动公务员参与植树活动．为保证树苗的质量， 林管部门在植树前都会对树苗进行检测．现从甲、乙 两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，得到的数据如 下(单位：cm )： 甲： 37, 21,31, 20, 29,19,32, 23, 25,33 乙： 10,30, 47, 27, 46,14, 26,10, 44, 46
3, 2 ， 4,1．其余点在圆外，即满
足条件的基本事件有3 7 10个． 10 5 故所求概率为 . 36 8
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即 基本事件总数为16.
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设“方程f x 0恰有两个不相等的实根”为事件A， 当a 0，b 0时，方程f x 0恰有两个不相等的实 a 0 根的充要条件是 b a，且a 0.此时a，b的 0 取值情况有 1, 2 ， 1,3， 2,3，即事件A包含的基本事 件数为3. 所以方程f x 0恰有两个不相等的实数根的概率为 3 P A . 16
个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b a A B ”的概率．
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解析 1由已知A x | 3 x 1，B x | 2 x 3． 设事件“ x A B”的概率为P 1， 3 这是一个几何概型，则P . 1 8
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2 因为a，b Z，且a A，b B， 所以，基本事件共12个： (2， 1)， 2, 0， 2,1， 2, 2， (1， 1)， (0 1)， 1, 0， 1,1， 1, 2，， 0, 0， 0,1， 0, 2．
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面积S 2 3 6.
变式3(2011 江西八校联考)已知集合A x | x 2 2x 3 0， x2 B {x | 0}． x 3 1 在区间 4, 4 上任取一个实数x，求“x A B”的概 率；
2 设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一
设事件E为“b a A B”， 则事件E中包含9个基本事件， 9 3 事件E发生的概率P E . 12 4
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变式2 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第 一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量m (a，b)，n (1， 2)．求：
1向量m与向量n垂直的概率； 2 m n 5的概率．
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2 因为a是从区间0, 2中任取的一个数，b是从区间 0,3中任取的一个数，则试验的全部结果构成区域
{(a，b) | 0 a 2， 0 b 3}，这是一个矩形区域，其 设“方程f x 0没有实根”为事件B，则事件B所构 成的区域为{(a，b) | 0 a 2, 0 b 3，a b}，其面 1 积S M 2 2 2. 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f x 0没有实 SM 1 数根的概率为P B . S 3
1 根据抽测结果，完成下面的
茎叶图，并根据你填写的茎叶 图，对甲、乙两种树苗的高度 作比较，写出两个统计结论；
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2 设抽测的10株甲种树苗高
度的平均值为将这 . 10株树苗 的高度依次输入，按程序框 图进行运算，问输出的s大小 为多少？并说明s的统计学 意义．
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解析 1 茎叶图如下：
∶ 1000. 2 总体个数为1000，样本容量为40.所以抽样比为40
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变式1(2011 浙江卷)某中学为了解学生数学课程的学习 情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200 名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布 直方图(如图)．根据频率分布直方图推测3000名学生在
统计结论： ①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐； ③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5； ④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中 在均值附近；乙种树苗的高度分布较为分散．
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2 x 27，s 35.
s表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度 离散程度的量． s越小，表示长得越整齐， s越大，表示长得越参差不齐．
解析 1由已知m n，则m n 0， 可得a 1 b 2 0， 化简得a 2b，且a 1, 2,3, 4,5, 6，b 1, 2,3, 4,5, 6， 其中满足条件的基本事件有 2,1， 4, 2 ， 6,3，共3个． 而总的基本事件个数为6 6 36. 3 1 因此，所求概率为 . 36 12