结构力学 薄壁工程梁理论解析

代入平衡方程
aA xytds bA y2tds cA ytds M x aA x2tds bA xytds cA xtds M y aA xtds bA ytds cAtds Nz
式中，Atds A0 —剖面面积；A ytds Sx A xtds S y —静矩 A y2tds J x A x2tds J y —惯性矩 A xytds J xy —惯性积
y
M
x
J xy Jx
；
M
x
1 k
M
x
M
y
J xy Jy
；
k
1
J
2 xy
JxJy
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面
E1 , t1
y E2 , t2
的公式就不能直接使用，
这时可把不同材料向同
一种材料折算；
Mx
E4 , t4
确定剖面几何性质时：
x0
Ai xi Ai
,
y0
Ai yi Ai
y
J x Ai yi2 J y Ai xi2 y0
Jxy Ai xi yi
tan 2 2Jxy
Jx Jy
o
yy
o
x x
x0
x
6.3 自由弯曲时开剖面切应力的计算
图示开剖面薄壁梁，欲求一
y
截面上点b处的剪流q，q t 。
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论
6.1 ห้องสมุดไป่ตู้述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。
可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。
壁上一点（x , y）处：M z
正应力 z
该点处取微段ds
My
t
Qy
o
ds Qx
Nz
(x, y)
x
Mx
微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。
三个平衡方程：
M x
y tds
A
M y
x tds
A
Nz
tds
A
将正应力平面分布的表达式
z E z E(ax by c) ax by c
6.1.1 简化假设
（1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。
横剖面可以发生翘曲（ w w(z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变；
（2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
剪流的概念：
n 0
自由表面
t
n
q
剪流 q t，q q(s)
剪流是单位长度上的剪力，切应力的载荷集度。
bJ x M x aJ y M y cA0 Nz
a M y
J b
y
M
x
Jx c
Nz
A0
ax by c M y x M x y Nz
Jy
Jx
A0
当x，y轴是任意形心轴的情况，Jxy 0 正应力的计算公式为:
My x Mx y Nz
Jy
Jx
A0
式中，M
y
1 k
M
Qx
z
x
Mx
剖面应力（分布形式的内力）： —正应力 —切应力
正应力方向以拉伸为正，切应力方向根据其与内力合 力的关系而定。
准确地讲，Mx, M y, Mz, Qx, Qy, Nz 是剖面分布内力的合力。
6.2 自由弯曲时正应力的计算
6.2.1 公式推导
y
剖面上6个内力合力 中，Mz、Qx、Qy不引起 弯曲正应力。
薄壁结构中如果蒙皮比较薄，其承受正应力的能力有限， 而梁、桁条等加强元件承受正应力能力较强。
有时可以让蒙皮承受剪切，而将其承受正应力的能力折 算到梁、桁条等的集中面积上去，组成新的承受正应力的集 中面积。
t
杆-板模型
承受正应力的桁 条与承受切应力的蒙 皮之间的传力关系
q
2
q
dz
1
z
计算具有集中面积的薄壁梁正应力时，只有集中面积 可以承受正应力。
aA xytds bA y2tds cA ytds M x aA x2tds bA xytds cA xtds M y aA xtds bA ytds cAtds Nz
aJxy bJx cSx Mx aJ y bJxy cSy M y aSy bSx cA0 Nz
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。
若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 Sx Sy 0 若x, y是剖面的形心主轴，则 J x，J y 称为主形心惯性矩，且
J xy A xytds 0
所以：
aJxy bJx cSx Mx aJ y bJxy cSy M y aSy bSx cA0 Nz
6.1.2 剖面坐标系及符号规定
（1）坐标系
x轴和y轴在剖面
内，z轴平行于母线
（展向），x、y、z构 成右手坐标系。
y
通常坐标原点位
x
于剖面上全部能够承
受正应力的面积的形
z
心上。
（2）剖面内力
y
Mx, M y , Mz , Qx, Qy , Nz
矢量正方向与坐标轴正向 M y
一致。
Qy
o
Mz
Nz
也就是说，只需要把元件的面积作减缩，Ai i Ai ，这时对 应的正应力就是 i ，仍可按下式计算应力
i
My Jy
x
Mx Jx
y
Nz A0
主形心惯性矩和剖面积均应换成面积减缩后的值。
然后通过 i i i 换算成真实的正应力。
6.2.3 具有集中面积的薄壁结构正应力计算
薄壁结构中，梁缘、桁条等元件的剖面积相对于结构的 剖面很小，可以近似地看成集中面积。
使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
引入减缩因数
i
Ei E
E3 , t3
梁腹板
x
梁缘条
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi
i
Ei
i
E
则 i i i
（2）平衡：减缩前后元件的轴力不变。
Nzi i Ai i Ai 则 Ai i Ai
（3）应变平面分布
z ax by c a , b , c —待定常数
则正应力： z E z E(ax by c) ax by c
弯曲和扭转时剖面可以发生翘曲，叫做自由弯曲和 自由扭转。
当翘曲受限时，叫做限制弯曲和限制扭转，产生附 加应力，例如机翼根部。所以自由弯曲和自由扭转的理 论不适用于翼根或梁的固定端。