第6章多元函数微分学8-10(曲线的切线与法平面-曲面的切平面及法线)

6.3.2 曲面的 切平面及法线
小结
一般方程的曲面的切平面及法线 特殊方程的曲面的切平面及法线 求切平面及法线习例5-10
一、空间曲线的切线与法平面
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点(x0, y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y

y0


割线 MM 的方程 :
切线方程
x x0
(t0 )

y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
此处要求(t0 ), (t0 ), (t0 )不全为0,
如个别为0, 则理解为分子为 0 . 切线的方向向量:
T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
高等数学A
第6章 多元函数微分学
6.3 多元函数微分的应用
6.3.1 空间曲线的切线及法平面 6.3.2 曲面的切平面及法线
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.3 多元函数微分的应用
曲曲 面线 的的 切切 平线 面及 及法 法平 线面
6.3.1 空间曲线的 切线及法平面
切线及法平面的概念 曲线方程为参数方程的情况 习例1-3 曲线为一般式的情况 习例4
T 1, (x0 ), (x0 )
x
yz

1
,
1 J

(F (z
, G) , x)
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
或
T


(F, ( y,
G) z)
, (F,G) M (z , x)
M
, (F,G) (x, y)
f
1 (x (x0 )

x0 )
若平面光滑曲线方程为
因 dy Fx (x, y)
故在点
有
dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0 法线方程 Fy (x0 , y0 )(x x0 ) Fx (x0 , y0 ) ( y y0 ) 0
x x
解


y2

2mx
z2 m x

x 1



y

m y
z


1 2z
T

{1,
m
,
1
}
y0 2z0
故切线方程为x

x0

y m/
y0 y0

z z0 1 / 2z0
,
法平面方程为( x

x0 )

m y0
(
y

y0 )

1 2z0
曲线方程为一般方程的求切线方程和法平面方程习例
例4 求曲线x2 y2 z2 6, x y z 0, 在 (1,2,1)处的切线及法平面.
解 以x为参数, 则T {1,(x0 ) , (x0 ) },
切线方程为
x
x0

y y0
(x0 )
z z0
(x0 )
,
法平面方程为 x x0 (x0 ) ( y y0 ) (x0 ) (z z0 ) 0.
例3 求曲线y2 2mx , z2 m x在( x0 , y0 , z0 )处的 切线及法平面方程.
称为曲线的切向量 .
T
M
r(t) o
也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0 说明: 若引进向量函数 r(t) ((t), (t), (t) ), 则
为 r (t) 的矢端曲线, 而在 t0 处的导向量
M
则在点 M (x0, y0, z0 )有
切线方程
x x0
(F , G)
y y0 (F , G)
z z0 (F , G)
( y, z) M (z , x) M (x , y) M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
(
M
x

x0
)

(F (z
, ,
(z

z0 )

0.
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F(x, y, z) G(x, y, z)
0 0
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
r(t0 ) ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
就是该点的切向量.
曲线方程为参数方程的求切线方程和法平面方程习例
x x
例2 求曲线 y ( x)在( x0, y0, z0 )处的切线与法平面. z ( x)
例3 求曲线y2 2mx , z2 m x在( x0 , y0 , z0 )处的 切线及法平面方程.
G) x)
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x

x0
)

(F (z
, ,
G) x)
M ( y y0 )
也可表为
(F,G) (x , y)
M (z z0) 0
x x0 y y0 z z0 Fx (M ) Fy (M ) Fz (M ) 0 Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.

T
M
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1. 曲线方程为参数方程的情况
T

M
设 t t0 对应M (x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
解 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
切线方程
x

yR

z


2
k
R 0
k
即

k y
x Rz R0

2
Rk

0
法平面方程

R
x

k
(
z


2
k
)

0
即
R
x

k
z


2
k
2
0
M0
(0 ,
R
,

2
k)
z
o
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x x
例2 求曲线 y ( x)在( x0, y0, z0 )处的切线与法平面. z ( x)