动态规划求解24点游戏原理
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计算机算法与应用开发结合 系列讲座
动态规划算法 求解24点游戏
程欣宇 2017年7月5日
提纲
• 一、动态规划算法
• 二、最长公共子序列问题 • 三、24点游戏
1.1 动态规划算法的位置
计 算 机 算 法 设 计 与 分 析
分支限界法
系 统 地 分 解 问 题
铺开多种方案同时搜索 深究一个方案是否可行 解决子问题重复的性能低下问题
空 空 D C B C A 0 0 0 0 0 0 0
10
A 0
B 0
A 0
C 0
B 0
B
2.4 计算最优值
由于在所考虑的子问题空间中，总共有θ(mn)个不同的子问题，因 此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
void LCSLength(int m，int n，char *x， char *y，int **c，int **b) { int i，j; for (i = 1; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for (i = 1; i <= n; i++) c[0][i] = 0; for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++) { if (x[i]==y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;} else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;} else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; } } }
7
2.1 最长公共子序列
•若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列 Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下 标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例 如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D， A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。 •给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是 Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 •给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出 X和Y的最长公共子序列。
8
2.2 最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。 由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀 的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结 构性质。
如何让计算机避免以上问题？ 1.系统搜索：避免跳跃和发散。 2.压缩状态空间：避免记忆力有限（内存不足）和大脑疲劳 （计算时间过长），比如2+3和3+2不必记忆两次。
3.3 定义问题和子问题
设运算符集合O={o1,o2,..,om}={+,-,x,÷} 原问题Q：运算数集合A={a1,a2,..an}，要求一个表达式，使用n-1 个运算连接这n个数，求出所有可能的运算结果，保留其中为r=24 的结果。 1级子问题S：运算数集合Ai={a1,a2,..an} - ai，要求一个表达式， 使用n-2个运算连接这n-1个数，求出所有可能的运算结果，保留 所有结果。 原问题和子问题的关系： result(A)= combine(a1,A1)+combine(a2,A2)+..combine(an,An) 举例： result(3,3,8,8)={3+result{3,8,8),3-result{3,8,8),..3÷result{3,8,8), 8+result{3,3,8),8-result{3,3,8),..8÷result{3,3,8)}
3.4 面向对象的实现要点
1. 厘清所有涉及的概念之间的关系： 操作数、运算符、表达式、交换律 操作数是一种表达式； 交换律是某些运算符的一种特性； 2. 类图
3.5 关键数据结构设计
分数类型： 鉴于除法运算可能损失精度，如1/3=0.3333333。而 0.3333333×3=0.9999999。会影响最终结果的判断。所以设计分 数类型Fraction，仅有两个成员：分子和分母。普通数仅有分子， 默认分母为1。这样才能支持8-(3-8/3)=24。 备忘录： 从数字集合到运算结果集合的映射表。
11
3.1 24点游戏
任意给4个数，要求用四则运算将这4个数计算得到24。
例：{3,3,8,8}, {10,12,6,9}
3.2 还原和改进大脑的思考过程
以{10,12,6,9}为例，多数人会这样思考： 1.把6单独拿出来，看看能不能用10,6,9凑一个4， 如果能，就可以得到6x4=24。 2.把10单独拿出来，看看12,6,9能不能凑一个14, 如果能，就可以10+14=24。 ...... 人脑为什么会搜索漏答案？ 人脑的缺陷：1.记忆力有限，2.思维跳跃、发散，3.大脑疲劳
构造最长公共子序列
void LCS(int i，int j，char *x，inБайду номын сангаас **b)
{ if (i ==0 || j==0) return; if (b[i][j]== 1){ LCS(i-1，j-1，x，b); cout<<x[i]; } else if (b[i][j]== 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b); }
回溯算法
动态规划
分治算法 贪心算法
解决大问题的划小问题
简单快速解决问题，不一定准确
1.1 动态规划算法总体思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解 成若干个子问题
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
1.1 动态规划算法总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数 目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复 计算了许多次。
Dictionary<string, SortedList<Fraction, Expression>> memo； 如memo[‘2,3’]= {<-1,2-3>, <2/3,2÷3>, <1,3-2>, <3/2, 3÷2>, <5, 3＋3>, <6, 3×3>};
3.6 关键性能优化
动态规划的备忘录用法：每划分出一个子问题时，先查子问 题是否已经求解，如果是，则直接取结果，否则才计算子问 题，计算完成以后，把结果放入备忘录。 状态空间压缩： 压缩等价状态，如memo{3,8}和memo{8,3}，办法是进行 排序，则8,3会等于3,8，避免了重复计算和占用备忘录。 压缩等价计算，如2+3=3+2，利用交换律，只计算存储 其中一个。但2*2和2+2不能只存储一个。
3.7 代码运行演示
谢谢！讨论！
T(n)
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4)
=
n
n/2 n/2
T(n/4)
6
n/2
T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)
1.2 动态规划基本步骤
• 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 • 递归地定义最优值。 • 以自底向上的方式计算出最优值。 • 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
5
1.1 动态规划算法总体思想
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得 的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。
序列X： 序列Y：
序列Z：
X1 Y1 Z1
Xn Ym Zk
D
A C
B B
A C .
C A .
B B B
2.3 子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归 关系。用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的 最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。其它情况下，由最优子结构性 质可建立递归关系如下： 0 i 0, j 0 c[i ][ j ] c[i 1][ j 1] 1 i, j 0; xi y j max{ c[i ][ j 1], c[i 1][ j ]} i, j 0; xi y j
动态规划算法 求解24点游戏
程欣宇 2017年7月5日
提纲
• 一、动态规划算法
• 二、最长公共子序列问题 • 三、24点游戏
1.1 动态规划算法的位置
计 算 机 算 法 设 计 与 分 析
分支限界法
系 统 地 分 解 问 题
铺开多种方案同时搜索 深究一个方案是否可行 解决子问题重复的性能低下问题
空 空 D C B C A 0 0 0 0 0 0 0
10
A 0
B 0
A 0
C 0
B 0
B
2.4 计算最优值
由于在所考虑的子问题空间中，总共有θ(mn)个不同的子问题，因 此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。
void LCSLength(int m，int n，char *x， char *y，int **c，int **b) { int i，j; for (i = 1; i <= m; i++) c[i][0] = 0; for (i = 1; i <= n; i++) c[0][i] = 0; for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++) { if (x[i]==y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;} else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;} else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; } } }
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2.1 最长公共子序列
•若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列 Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下 标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例 如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D， A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。 •给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是 Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 •给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出 X和Y的最长公共子序列。
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2.2 最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。 由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀 的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结 构性质。
如何让计算机避免以上问题？ 1.系统搜索：避免跳跃和发散。 2.压缩状态空间：避免记忆力有限（内存不足）和大脑疲劳 （计算时间过长），比如2+3和3+2不必记忆两次。
3.3 定义问题和子问题
设运算符集合O={o1,o2,..,om}={+,-,x,÷} 原问题Q：运算数集合A={a1,a2,..an}，要求一个表达式，使用n-1 个运算连接这n个数，求出所有可能的运算结果，保留其中为r=24 的结果。 1级子问题S：运算数集合Ai={a1,a2,..an} - ai，要求一个表达式， 使用n-2个运算连接这n-1个数，求出所有可能的运算结果，保留 所有结果。 原问题和子问题的关系： result(A)= combine(a1,A1)+combine(a2,A2)+..combine(an,An) 举例： result(3,3,8,8)={3+result{3,8,8),3-result{3,8,8),..3÷result{3,8,8), 8+result{3,3,8),8-result{3,3,8),..8÷result{3,3,8)}
3.4 面向对象的实现要点
1. 厘清所有涉及的概念之间的关系： 操作数、运算符、表达式、交换律 操作数是一种表达式； 交换律是某些运算符的一种特性； 2. 类图
3.5 关键数据结构设计
分数类型： 鉴于除法运算可能损失精度，如1/3=0.3333333。而 0.3333333×3=0.9999999。会影响最终结果的判断。所以设计分 数类型Fraction，仅有两个成员：分子和分母。普通数仅有分子， 默认分母为1。这样才能支持8-(3-8/3)=24。 备忘录： 从数字集合到运算结果集合的映射表。
11
3.1 24点游戏
任意给4个数，要求用四则运算将这4个数计算得到24。
例：{3,3,8,8}, {10,12,6,9}
3.2 还原和改进大脑的思考过程
以{10,12,6,9}为例，多数人会这样思考： 1.把6单独拿出来，看看能不能用10,6,9凑一个4， 如果能，就可以得到6x4=24。 2.把10单独拿出来，看看12,6,9能不能凑一个14, 如果能，就可以10+14=24。 ...... 人脑为什么会搜索漏答案？ 人脑的缺陷：1.记忆力有限，2.思维跳跃、发散，3.大脑疲劳
构造最长公共子序列
void LCS(int i，int j，char *x，inБайду номын сангаас **b)
{ if (i ==0 || j==0) return; if (b[i][j]== 1){ LCS(i-1，j-1，x，b); cout<<x[i]; } else if (b[i][j]== 2) LCS(i-1，j，x，b); else LCS(i，j-1，x，b); }
回溯算法
动态规划
分治算法 贪心算法
解决大问题的划小问题
简单快速解决问题，不一定准确
1.1 动态规划算法总体思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解 成若干个子问题
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
1.1 动态规划算法总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数 目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复 计算了许多次。
Dictionary<string, SortedList<Fraction, Expression>> memo； 如memo[‘2,3’]= {<-1,2-3>, <2/3,2÷3>, <1,3-2>, <3/2, 3÷2>, <5, 3＋3>, <6, 3×3>};
3.6 关键性能优化
动态规划的备忘录用法：每划分出一个子问题时，先查子问 题是否已经求解，如果是，则直接取结果，否则才计算子问 题，计算完成以后，把结果放入备忘录。 状态空间压缩： 压缩等价状态，如memo{3,8}和memo{8,3}，办法是进行 排序，则8,3会等于3,8，避免了重复计算和占用备忘录。 压缩等价计算，如2+3=3+2，利用交换律，只计算存储 其中一个。但2*2和2+2不能只存储一个。
3.7 代码运行演示
谢谢！讨论！
T(n)
n/2
T(n/4) T(n/4) T(n/4)
=
n
n/2 n/2
T(n/4)
6
n/2
T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)
1.2 动态规划基本步骤
• 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 • 递归地定义最优值。 • 以自底向上的方式计算出最优值。 • 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
5
1.1 动态规划算法总体思想
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得 的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。
序列X： 序列Y：
序列Z：
X1 Y1 Z1
Xn Ym Zk
D
A C
B B
A C .
C A .
B B B
2.3 子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质建立子问题最优值的递归 关系。用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的 最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。其它情况下，由最优子结构性 质可建立递归关系如下： 0 i 0, j 0 c[i ][ j ] c[i 1][ j 1] 1 i, j 0; xi y j max{ c[i ][ j 1], c[i 1][ j ]} i, j 0; xi y j