【志鸿优化设计】(山东专用)高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11.3随机数与几何概型练习 理 新

课时作业57 随机数与几何概型

一、选择题

1．如图，矩形长为6，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为( )．

A ．3.84

B ．4.84

C ．8.16

D ．9.16

2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形

的面积介于36 cm 2与81 cm 2

之间的概率为( )．

A ．14

B ．13

C ．427

D ．415 3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S

4

的概率是( )．

A ．14

B ．12

C ．34

D ．23

4．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2

＝2有公共点的概率为( )．

A ．25

B ．25

C ．35

D ．3210

5．在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )． A ．13 B ．2π C ．12 D ．23

6．(2012湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．

A ．12－1π

B ．1π

C ．1－2π

D ．2

π

7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )．

A ．π12

B ．1－π12

C ．π6

D ．1－π6

二、填空题

8．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________．

9．在区域M ＝{x ，y

|⎩

⎪⎨

⎪⎧

0

{x ，y |⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y <4y >x

x >0

}内的概率是__________．

10．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB

的长度小于1的概率为________．

三、解答题

11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b ＝－1的概率；

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b ＜0的概率．

12．一只蚂蚁在边长分别为5,6，13的三角形区域内随机爬行，试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．

参考答案

一、选择题

1．C 解析：矩形的面积为12， 设椭圆的面积为S ， 则S 12≈300－96300

，解得S ≈8.16. 2．A 解析：面积为36 cm 2

时，边长AM ＝6 cm ；

面积为81 cm 2

时，边长AM ＝9 cm.

∴P ＝9－612＝312＝14

.

3．C 解析：如图，在AB 边上取点P ′，

使

AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(不包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝3

4

. 4．B 解析：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2

＝|a －1|

2

≤2，

解得－1≤a ≤3.

又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25

.

5．A 解析：如图，在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π2，π2上任取x,0＜cos x ＜12的x 的取值范围是x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π

2

，－π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.

记“cos x 的值介于0到12之间”为事件A ，则P (A )＝2⎝ ⎛⎭⎪

⎫π2－π3π＝1

3

.

6．C 解析：设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于

直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12

×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2

，故所求的概率是

(π－2)R 2

πR 2

＝1－2

π

.

7．B 解析：正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的

半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13

＝23

π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：

1－23π8＝1－π12.

二、填空题 8．1

3 解析：[－1,2]的区间长度为3，[0,1]的区间长度为1，根据几何概型知所求概率为13.

9．1

2

解析：画出区域M ，N ，如图，区域M 为矩形OABC ，区域N 为图中阴影部分．

S 阴影＝12

×4×2＝4，

故所求概率P ＝

44×2＝12

. 10．2

3

解析：圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧

12M M 的长度为2，B 点落在优弧12M M 上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的

长度小于1的概率为2

3

.

三、解答题 11．解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36个；由a·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，

所以满足a·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；

故满足a·b ＝－1的概率为336＝1

12

.

(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}；

满足a·b ＜0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y ＜0}； 画出图形如下图，