风险态度与资产选择

x, y C ，如果 x y x
单调性说明增加一点商品至少与原来的情况同样好。 只要商品是有益的，单调性就必然成立。
强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类的数量 严格多于原来的物品，消费者则必定严格偏好于他们。
fy ~
x, y C 且 x
f y ，则 x y ~
，x
y
局部非饱和性（local non-satiation）
确定性利益与不确定性利益的效用比较
pw1 1 p w2 w0 u pw1 1 p w2 pu ( w1 ) (1 p )u ( w2 ) u pw1 1 p w2 pu ( w1 ) (1 p)u ( w2 ) u pw1 1 p w2 pu ( w1 ) (1 p )u ( w2 )
E（u）＝Σ 或 积分
1.偏好关系
偏好是建立在消费者可以观察的选择行为 之上的。 偏好关系（preference relation)是指消费 者对不同商品或商品组合偏好的顺序。它 可以用一种两维（或二元）关系（binary relation）表述出来。
偏好关系的表述
令C 为商品（或者消费）集合，C 中有 M 种可供选择的商品。它是M 维实数空间 中的一个非负子集，它总是被假定为闭集 和凸集。x、y、z……是它的子集，或者称 之为商品束（commodity bundle）或者消 费束（consume boundle）。
风险态度是指人们对可能的损失和可 能的收益所给予的重视程度。
对效用的理解:《最好吃的东西》
兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。 兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起 萝卜就要流口水。” 猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩， 嚼起来又酥又松，味道美极了！” 兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。 猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿 常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美 味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？
（二）投资者的效用函数与风险态度
18世纪著名的数学家Daniel Bernoulli 在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博输 掉的钱看得比可能赢的钱更重。例如:有一 个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的， 正面朝上可以赢2000元，反面朝上1分钱 什么也没有。现在入局费为多少，才能使这 场赌博为一场公平的赌博？
x C 和 〉0，总存在 y C, x y

使得
x
y
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无 差异曲线具有一个负的斜率。
凸性（convexity）
x, y, z C, if x z, y z x (1 ) y z
严格凸性（strictly convexity） 凸性可理解为边际替代率递减。
《金融经济学》
第五章 风险态度与资产选择
学习目的
掌握投资者的风险态度及其分类 理解投资者的效用函数与风险态度的数量化 掌握投资者的风险对策以及由此而产生的对资产需求 的影响
本章内容概览
一、投资者的风险态度 二、投资者的一般风险对策 三、投资组合理论 四、资产选择行为与资产需求
一、投资者的风险态度
怎样判别风险厌恶、风险偏好和风险中立
若投资者的初始财富为W0，他不参与一 个公平赌博，则其效用值是U(W0)，若参 与，则其财富会起变化，变化的财富的期 望效用是以p取（ W1 = W0 ＋h1），以 （1-p）取（ W2 = W0 ＋h2），比较投资 者对二者之间态度，可以判断投资者的风 险态度。
x2 x’ x’ ~ x” ~ x”’ x”
x”’
x1
x2 x
z
z
x
y x1
p
p
y
x2 x I2 y
所有无差异曲线I1上的消 费束都严格优于 I2上的 消费束
I1
z
所有无差异曲线I2上的 消费束都严格优于 I3上 的消费束
I3
x1
无差异曲线不能相交
x2
I1
I2
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z y
x1
单调性假设 假设商品多多益善（即假设未到餍足点且每 一种商品都是“好”商品） 更精确的表示是： 消费束（y1,y2）和 （x1,x2），其中 y1 ＝x1， y2 ＞x2，则（y1,y2）（x1,x2）。 单调性假设的含义： 无差异曲线斜率为负
p
－弱偏好 (weak preference ): x f y ~ 如果消费者偏好于x或者认为和 y 无 差异，则说消费者弱偏好于x
偏好关系是序数关系，是消费者对消费束偏 好程度的排序。 如果x f y 且y f x，这意味着 x ～y ；
~ ~ 如果x f y 且已知不是x ～ y，则可得出结论 ~
投资者的风险态度
U(W) U(W2) U（W）
风险厌恶者
A
B
U [ pW 1 p W ] 1 2 风险条件下，可以持有
T Q A T’ x22 Q’
U(X1,X2) Z
U2
V
X2
V’ U1 0
B
x12
X1
效用函数和无差异曲线
U(X1,X2) Z
A
X2 B
U2 U1 0
X1
效用函数和无差异曲线
无差异曲线可以看作是效 用函数曲面边界在平面上 的投影。
X2
U2 U1 0 X1
效用函数和无差异曲线
X2
U2 U1 X1
弱偏好集
Weakly Preferred Set
x2
x
WP(x), 弱偏好 于x的消费束的 集合
Ⅰ(x)
I(x’)
x1
严格偏好集 (Strictly Preferred Set) x2
x
SP(x), 严格偏好 于X的消费束的 集合，不包括 I(x)
I(x)
x1
无差异曲线
Indifference Curves
p
认为 x y。
2.偏好的公理性假设
完备性 (Completeness):假设任何两个消费束 都是可比较的。 对于消费束x和y，消费者或者认为x f y ， ~ 或者认为y f x，或者认为x～y ，三者必居 ~ 其一。 完备性假定保证了消费者具备选择判断的 能力。
吃哪堆草 好呢？
自返性 (Reflexivity): 假设任何消费束至 少与本身是同样好的，x f x ~ 自返性保证了消费者对同一商品的偏好 具有明显的一贯性。 传递性 (Transitivity): 假如x f y，y f z， 则x f z. ~ ~ ~ 传递性保证了消费者在不同商品之间偏 好的首尾一贯性。
（一）期望效用理论
效用（utility）：消费者从消费商品中得到 的满足程度。 效用完全是消费者的一种主观心理感受。
满足程度越高，效用越大； 满足程度越低，效用越小。
效用函数utility function是对满意程度的量化
效用函数分为：序数效用函数、基数效用函数 序数效用ordinal utility：效用之间只能排序 基数效用cardinal utility：用具体数值表示效用的大小 期望效用：有多种结果时效用的数学期望
x, y, z C, if x z, y z, x y x (1 ) y z
3.无差异曲线 Indifference Curves

弱偏好集 (Weakly Preferred Set ) 严格偏好集 (Strictly Preferred Set ) 无差异曲线（Indifference Curves） 偏好的实例
以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。 不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。

在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人 对后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。 效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。
经济中的理性: Rationality in Economics 行为假定（ Behavioral Postulate）:假定消费者总是从 他可得到的消费束中选择最偏好的消费束。 将消费者偏好模型化.
x2
y2 x1
y
y1
偏好是弱凸性的，如果z至少与x 或y一样好 x’
z’ x
z
y
y’
凹性偏好
x2 z y2 x1 y1
非凸性偏好
x2 z y2 x1 y1
4.效用函数
效用函数和无差异曲线
R A R’
U(X1,X2) Z U1
P
S
X2 x21
P
’
B S’
0
第三章
x11
X1
第42页
效用函数和无差异曲线
1.偏 好
假定有任何两个消费束x和y －严格偏好 (strict preference ): x y 如果消费者在y可以得到的情况下总是选择x， 则可以说他偏好x； －无差异 (Indifference ): x～y 如果让消费者消费另一个消费束y，他同样感到 满足，虽然根据他自己的偏好是要消费x。
p
单调性偏好
X2
：斜率为负
较好消费束
(X1，X2)
较差消费束 X1
凸性假设
消费束的组合至少与消费束本身一样受偏 爱 例如在一条无差异曲线上取两个消费束 （x1,x2）和（y1,y2)，取这两个消费束 的加权平均，令其为z z=（x1 y1 ，x2 y2 ）
2
2
则z至少与x或y一样好。
0
5.投资的期望效用
在一般情况若投资的期末收益R是离散型随机变 量，则投资者的期望效用为：
EU (R) P iU ( Ri )
若R是连续型随机变量，则其期望效用为：
EU ( R) Rf ( R)dR

当期望效用大于零时，意味着投资将导致效 用净增加，可以考虑进行投资；如果期望效 用小于零，则意味投资者效用的净损失，应 该放弃。
严格偏好于x和y
x2 x2+y2 2 y2 x1 x1+y 1 2
x
x+y z= 2 y y1
x2
x z =(tx1+(1-t)y1, tx2+(1-t)y2) 偏好于x和y, 0 t 1. y x1 y1
y2
偏好是严格凸性的，当所有的组合 消费束z都严格偏好于x和y(0<t<1)
x z
严格凸性偏好的无 差异曲线没有平坦 部分，它是严格圆 形的
2.风险厌恶
定义：如果投资者不喜欢参与任何公平的赌博， 即u(W0) pu(W1)+(1-p)u(W2)，则称投资者是风险厌恶型。 此时，效用函数u是一个凹函数，更一般的表示为： u(E(W))E(u(W))。 个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差异于任何公 平的赌博。 个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公平的赌博。 定理：u的凹性对应着个体风险厌恶；u的严格凹性对应着 个体严格风险厌恶。
连续性（continunity） 对于任意的X、y，集合 x x y和 x x y 是 闭集，则 x x y和 x x y 是开集。
即如果x是一组至少与y一样好的消费束，而
且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样
好。这样就可以得到一条连续的无差异曲线。
单调性（monotonicity）
1.公平赌博
公平赌博是指不改变个体当前期望收益的赌 局，如一个赌局的随机收益为ε ，其变化均 值为E(ε)=0的赌局。或者公平赌博是指一个 赌博结果的预期只应当和入局费相等的赌博。
考虑一个博弈，它以概率p有一个正的回报h1,以概率 （1-p）有负收益h2, 它称为一个公平的赌博是指 ph1+(1-p)h2=0。 如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的数学期望值 大于零，那么此人应当先交出等于期望值的钱来，才 可以使得这场赌博变得公平。 或者说公平赌博结果的预期只应当和入局前所持有的 资金量相等，即赌博的结果从概率平均意义上的应该 是不输不赢。
期望效用函数（expected utility function）
期望效用最大化原则
1944年由美国数学家冯· 诺依曼和经济学家 摩根斯坦在合著的《博弈论与经济行为》一 书中提出的期望效用理论是关于不确定性决 策的规范理论。 核心思想是：当面对多项有风险的投资机会 时，理性投资者一定是选择期望效用最大的 那项投资机会进行投资。