隐函数求导公式

∂x ∂ u ∂x ∂ v 1 = ∂u ∂x + ∂v ∂x , 0 = ∂ y ∂u + ∂ y ∂v . ∂ u ∂ x ∂v ∂ x
由 于 J ≠ 0 , 故可解的
1 ∂y ∂u 1 ∂y ∂v , . = =− J ∂u ∂x J ∂v ∂x
同理， 同理，可得
1 ∂x ∂v 1 ∂x ∂u , = . =− J ∂v ∂y J ∂u ∂y
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
例4 设函数 x = x ( u, v ), y = y( u, v ) 在点 ( u , v )的某一邻域内连续偏导数，又 的某一邻域内连续偏导数 ∂( x, y) ≠0 ∂ (u, v ) (1)证明方程组 证明方程组
Fx
Fv
G x Gv 1 ∂(F ,G ) ∂u , =− =− Fu Fv J ∂( x, v ) ∂x Gu Gv
Fu Fx 1 ∂(F ,G ) ∂v =− =− Gu G x J ∂ ( u, x ) ∂x
Fy 1 ∂(F ,G ) ∂u =− =− Gy J ∂ ( y, v ) ∂y Fv Gv
隐函数存在定理2 隐函数存在定理 设函数 F ( x , y , z ) 在点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数， 的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 ， F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 ，则方程F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 ， 连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y )， 它满足条件 z = f ( x 0 , y 0 )
0
并有
∂z ∂x
= −
Fx Fz
，
∂z ∂y
= −
Fy Fz
.
2 2 2 x + y + z − 4 z = 0 ，求 例2 设
∂ 2z ∂x
2
.
解 令
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4z,
F x ∂z , = − x = Fz 2 − z ∂x
则 Fx = 2x , Fz = 2 z − 4,
F(x, y, u, v) ≡ x − x(u, v) = 0 解 （1）将方程组改写成形式 G(x, y, u,v) ≡ y − y(u, v) = 0
即得所要证的论。 即得所要证的论 （2）将上面方程组所确定的反函数 u = u( x , y ), v = v ( x , y ) 将上面方程组所确定的反函数 代入， 代入，即得 x ≡ x[u( x , y ), v ( x , y )] y ≡ y[u( x , y ), v ( x , y )]. 将上述恒等式两边分别对x求偏导数， 将上述恒等式两边分别对 求偏导数，得 求偏导数
小结
分以下几种情况） 隐函数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0
F ( x , y , u, v ) = 0 ( 3) G ( x , y , u, v ) = 0
第五节 隐函数的求导公式
一、 一个方程的情形 二、方程组的情形
一、一个方程的情形
1. F( x, y) = 0
隐函数存在定理1 隐函数存在定理 设函数 F ( x , y ) 在点的 P ( x0 , y0 )某一 邻域内具有连续的偏导数， 邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y 0 ) = 0 F ( x , y ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x , y ) 的
x = x ( u, v ) 在点（x， y， u ， v） = y ( u, v ) y
一组连续且具有连续 的某一邻域内唯一确定 偏导数的反函数 u = u( x , y ), v = v ( x , y ). 的偏导数。 的偏导数 (2)求反函数 u = u( x , y ), v = v ( x , y )对x,y的偏导数。 求反函数
x ∂z (2 − z ) + x ⋅ (2 − z ) + x ∂ 2z 2− z ∂x = = ∂x 2 ( 2 − z )2 ( 2 − z )2
( 2 − z )2 + x 2 . = 3 (2 − z )
二、方程组的情形
F ( x , y , u, v ) = 0 G ( x , y , u, v ) = 0
函数的一阶和二阶导数为
x dy Fx =− , =− y dx Fy
dy = 0, dx x = 0
y − x − 2 d y y − xy ′ =− 2 = − 2 dx y y2
d2y = − 1. 2 dx x = 0
x y
1 =− 3, y
2. F( x, y, z) = 0
= 0，且偏导数所组成的函数行列式
式）
（或称雅可比
∂F ∂F ∂( F , G ) ∂u ∂v = J= ∂(u, v ) ∂G ∂G ∂u ∂v
不等于零， 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v ) = 0、 ( x, y,u,v ) = 0 G 在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一 u = u( x , y )， 组单值连续且具有连续偏导数的函数 v = v ( x , y ) ，它们满足条件 ( x 0 , y 0 ) ，并有 u0 = u ( x 0 , y 0 ) , v0 = v
x 求导并移项
∂v ∂u x ∂x − y ∂x = − u , y ∂ u + x ∂v = − v ∂x ∂x
x −y = x2 + y2 , J= y x
在 J ≠ 0 的条件下， 的条件下，
−u − y ∂u − v x = x −y ∂x y x
x −u yu − xv ∂v y − v , = 2 = 2 ∂x x − y x + y y x
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv , Gu Gv
Fu Fy 1 ∂(F ,G ) ∂v =− =− Gu G y J ∂ ( u, y ) ∂y
Fu Fv . Gu Gv
例3 设 xu − yv = 0 ， yu + xv = 1 ， ∂u ∂u ∂v ∂v . 求 ， ， 和 ∂x ∂y ∂x ∂y 解1 解2 直接代入公式； 直接代入公式； 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对
解 令 F ( x, y) =
F (0,1) = 0,
x + y − Hale Waihona Puke 则 Fx = 2x ,2 2
Fy = 2 y ,
Fy (0,1) = 2 ≠ 0, x 2 + y 2 − 1 = 0 在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域 依定理知方程 内能唯一确定一个单值可导、 内能唯一确定一个单值可导、且 x = 0 时 y = 1的函数 y = f (x)
隐函数存在定理3 隐函数存在定理 设 F ( x , y , u , v ) 、 G ( x , y , u , v ) 在 点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数， 偏导数，且 F ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 , G ( x 0 , y 0 , u0 , v 0 )
y 0 0 0 0
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 的函数 y = f ( x ) ，它满足条件 y 0 = f ( x 0 ) ，并有
dy Fx =− dx Fy
. 隐函数的求导公式
2 2 的某邻域内能 例１ 验证方程 x + y − 1 = 0 在点 ( 0 ,1 ) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、 唯一确定一个单值可导、且x = 0 时 y = 1 的隐函数 y = f ( x ) ，并求这函数的一阶和二阶导数在x = 0 的值 的值. 并求这函数的一阶和二阶导数在