第八章机械优化设计应用实例-精选
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为长度折算系数，按一端固定，一段铰支考虑，取
0.7
D2位弹簧中径。
于是有约束条件
g2(x)3.6 2[8 x (30.5)x12.3 0]0 1 411.9 3 (8 x30.5x1x )2 x12.3 00 2 4 68 00
作温度，可靠度，热处理等因素，确定为
036.45N/mm 2
为剪应力幅
k
8FD2
d3
为平均剪应力
m
m
ks
8FmD2
d3
其中：
K为曲度系数，按近似式计算有 k 1.6 (D2 / d)0.14
k s 为应力修正系数，按下式确定
ks
1 0.615d D2
F 为载荷幅， F 1 2(F2F1)20N4
由其中的计算结果可以看出，第二次计算结果应为最优解。
x * l2 * l3 *T4 .14 2 .3T1
F* 0.00763
0 2604'20'' 0 9950'04''
l 2*，l 3* 为相对杆长。最后，根据机构的结构设计需要按一定 的比例尺求出机构实际杆长L1，L2，L3，L4。
机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最 小传动角大于45度。
⑴按传动角要求建立约束条件
由余弦定理a图 cos36x12x22 co4s5
2x1x2
整理得约束条件 g 1 (x ) x 1 2 x 2 2 1 .4x 1 1 x 2 3 4 0 6
同理由上页b图传动角最小位置写出
可见， 0 和 0 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有
l2，l3，l4三个 为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中
预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当 预选机架的长度，本题取l4=5。
最后确定该优化问题的设计变量
x l2 l3T x 1 x 2T
2，建立目标函数
写成约束条件有 g3(x)x110 g4(x)x210 g5(x)x1x260 g6(x)x2x140 g7(x)x1x240
用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见， g3(x)~g7(x)均是消极约束。而可行域D实际上只是由g1(x) 与g2(x)两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优 化数学模型如下
①疲劳强度条件
按题目要求，疲劳强度安全系数S不小于许用的安全系
数Smin，即满足 S Smin
Smin1.2
取
S
0
2ss 0
0s
m
式中， s 为弹簧材料的剪切屈服极限，可取
s0.5b74N0 /m2m b 为抗拉强度极限
0为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工
1.20 6 .033
x2.86 1
x1 3
x1 2
②稳定性条件
防止失稳的条件是最大工作载荷F2不大于压缩弹簧稳定性 的临界载荷FC，即
F2≤FC
临界载荷按下式计算
式中，HF0C 为弹0簧.8自1H 由30高K度1 ，它1 等6于.82压5并H D高20度2Hb与压并变
④弹簧致并圈的条件
为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则 要求弹簧在最大载荷F2作用下的高度H2大于压并高度Hb， 即
H2 H1 H2 H1h50.810.1640.64(mm ) Hb (n10.5)d(x30.5)x10 于是有约束条件
g 4 (x ) 4 .6 0 ( 4 x 3 0 .5 )x 1 0
cosx12x2216co4s5
整理得约束条件
2x1x2
g 2 ( x ) x 1 2 x 2 2 1 .4x 1 1 x 2 1 4 0 6
⑵按曲柄存在条件建立约束条件
l2 l1
l3 l1 l1l4 l2l3
l1l2l3l4 l1l3l2l4
实例：
有一气门弹簧。已知：安装高度h1=50.8mm，初载荷 F1=272N，最大工作载荷F2=680N，工作行程h=10.16mm 弹簧工作频率fr=50Hz，弹簧丝材料为50CrVA，油淬回火， 喷丸处理；弹簧工作温度为126oC，弹簧中径范围： 20mm≤D2≤50mm，总圈数：4≤n1≤50，支撑圈数n2=1.75 旋绕比C≥6，安全系数取1.2，弹簧刚度相对误差不超过0.01 试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。
L关3，系l，4作所为以变变量量。本一应般为考l2虑，，l3本，问l4，题与0 和初始 0 角五个0 。，但0 是也两有
转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式
0 a rcc(l1o2sl(2 l1)2 l2l)32l3l42 0 a rcc(l1osl22)l23 l4l32l42
下面对表中第一，三次结果进行分析。
第一次计算：
初始步长(0) 0.1，输出结果为 x1 *4.9 2.4T，F1* 0.0128
离实际最优点甚远。产生这种情况的原因是 (0) 取得太大。当 迭代点到达上述位置时，由于此处目标函数等值线是下凹的， 在该点四周的迭代点均失败，因此就误作为最优输出。此解称
一，确立弹簧优化模型
⑴确定设计变量 影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径d，弹簧中径D2，
弹簧总圈数n1。他们都是独立的参数。故取这三个参数为 设计变量。
x d D 2n 1 T x 1x 2x 2 T
先按连续变量处理。
⑵建立目标函数
该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量 作为目标函数
2 ri x 2
x
2 1
i
arccos
ri 2 24 10 ri
i
26 10 cos i
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由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每 一个机构设计方案x，即可算出输出角的偏差平方和F(x)。
3，确立约束条件 本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆
n
miFn(x) (i si)2 i0
xDR2
D：g1(x)x12x221.41x14x2
360 g2(x)x12x2 21.41x14 x2 160
二，选择优化方法及结果分析
该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束 坐标轮换法。
计算时，曾用若干组不同的初始数据进行计算，从中选出 其中三组。见课本表8.1
⑤刚度误差要求
设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为K，而按 已选参数使计算得的弹簧实际刚度为K 。题意规定其相对 误差不超过0.01。即
K K 0.01 K
弹簧实际刚度表示为
Gd 4
K
8
D
3 2
n
式中，G为材料剪切弹性模量，合金钢 G8.1140N/m2m
n为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取1.75， 则n=n1-1.75
形量 b 之和，即
H0 Hbb
其中 取
Hb(n10.5)d
b 1.2
为弹簧的最大变形量
K为弹簧要求具有的刚度 K F 2F 168 207 4 2.2 0 (N /m)m h 1.1 06
为弹簧的最大变形量
F2 680 16 .92 (m)m
K 40 .2
最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为
0
~ 0
2
的区间分成n等分，从动摇杆输出角也有相对
应的分点。若各分点标号记作i，以各分点输出角的偏差 平方和作为目标函数，则有
n
F(x) (i si)2 i0
式中的有关参数按如下步骤及公式计算
①曲柄各等分点的转角
i
0
i
2
②期望输出角
弹簧总圈数限制
g9(x)x340
g1(0x)5 0x30
二，选择优化方法并进行计算
为为最优解。消除此故障的办法是，规定足够小的正数 ，当 步长 时，即使四周迭代点均失败也不终止迭代，而是将
减半，直至达到 为止。
第三次计算，(0) 0.001，步长虽然很小，但所得结果仍
很差，原因是在给定 x(0) 4.5 4.0T及 (0) 0.00的1 条件下
i=0，1，2，……，n
i 032(i 0)2 i=0，1，2，……，n
③实际输出角
按下页图计算
si
i i
i i
0 i i 2
其中，式中的角度右下图可得到
i arccos
ri 2
x
2 2
迭代点达到了邻近约束边界的死点。在它四周的迭代点或
是函数值增大，或是落入非可行域，于是终止迭代，输出
了伪最优解。这就是在约束坐标轮换法中曾阐明的退化现
象。克服这一弊病的办法是采取不同的初始点和步长，进
行多次运算后则其最优的方案作为问题的最优解，迭代路
线见下页图。
8.2弹簧的优化设计
本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。
W4d2(D2)n1
其中，为钢丝材料的密度，7.810 5N/m3 m
将 具体数值代入，并用x1，x2，x3代表设计变量，可写出
目标函数
F (x) 1 .92 15 4 0 x 1 2x2x3
⑶确立约束条件
按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设 计与计算公式，可列出如下各项设计约束
机构学理论已经证明，用铰链四杆机构实现两链架杆 对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多 为五个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中， 从动摇杆欲实现输出角的函 数关系，而机构实际上只能 实现下图虚线所示的近似关 系。
输 出 角 函 数 图
对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差
F m 为平均载荷 Fm1 2(F2F1)47N6
将 k ，k s ，F ，F m 带入 ， m 中，得
831.2x20.86 x2.86
1
m1.21x1.3122x2
74.456 x12
经整理得约束条件
g1(x)1
36 .45 2.25x4 2 0 6 .8659 .3x0 23
许用值 ，取 45
求此问题最优解，做法 如下。
一，建立优化问题的数学模型
1，确定设计变量
铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行 设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转 角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令 L1=1，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度l2，
③无共振条件
弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象， 应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为fr，一阶自振频 率为f，无共振的条件为
13fr f
已知， fr 50Hz，两端固定钢制弹簧自振频率为
f
3.56105
d n1D22
于是得约束条件为
g3(x)3.5 6150x2 x 21 x3650 0
第八章 机械优化设计应用 实例
连杆机构的优化设计 弹簧的优化设计
8.1连杆机构的优化设计
连杆机构运动学设计的基本问题，可以归结为实现已知 运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运 动综合问题采用优化方法已经很普遍。
本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数 关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综 合方面的应用。
设 0 ， 0 分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆
的位置角，见下图。他们是以机杆架AD为基线逆时针度量 的角度。
要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 0 转至 0 90 度时，
实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系
0 032(0)2
并要求在给定的范围内， 机构最小传动角不得小于
得约束条件为 g5(x)0.401 2.x0 2 3(x1 3 2 1 1.7 4 5 0 x)1 4 54.2 00
⑥旋绕比条件
设计要求旋绕比C≥6（C=D2/d）,则有约束条件
g6(x)
x2 x1
60
⑦其他界限约束
弹簧中径范围20≤D2≤50，则有约束条件
g7(x)x22 00 g8(x)5 0x20
0.7
D2位弹簧中径。
于是有约束条件
g2(x)3.6 2[8 x (30.5)x12.3 0]0 1 411.9 3 (8 x30.5x1x )2 x12.3 00 2 4 68 00
作温度，可靠度，热处理等因素，确定为
036.45N/mm 2
为剪应力幅
k
8FD2
d3
为平均剪应力
m
m
ks
8FmD2
d3
其中：
K为曲度系数，按近似式计算有 k 1.6 (D2 / d)0.14
k s 为应力修正系数，按下式确定
ks
1 0.615d D2
F 为载荷幅， F 1 2(F2F1)20N4
由其中的计算结果可以看出，第二次计算结果应为最优解。
x * l2 * l3 *T4 .14 2 .3T1
F* 0.00763
0 2604'20'' 0 9950'04''
l 2*，l 3* 为相对杆长。最后，根据机构的结构设计需要按一定 的比例尺求出机构实际杆长L1，L2，L3，L4。
机构满足曲柄存在的条件，其二是在传递运动过程中的最 小传动角大于45度。
⑴按传动角要求建立约束条件
由余弦定理a图 cos36x12x22 co4s5
2x1x2
整理得约束条件 g 1 (x ) x 1 2 x 2 2 1 .4x 1 1 x 2 3 4 0 6
同理由上页b图传动角最小位置写出
可见， 0 和 0 已由机构的相对杆长所决定，独立变量只有
l2，l3，l4三个 为了进一步缩减设计变量，还可以在这三个独立变量中
预先选定一个。根据机构在机器中的许可空间，可以适当 预选机架的长度，本题取l4=5。
最后确定该优化问题的设计变量
x l2 l3T x 1 x 2T
2，建立目标函数
写成约束条件有 g3(x)x110 g4(x)x210 g5(x)x1x260 g6(x)x2x140 g7(x)x1x240
用全部约束条件画成次下图所示的平面曲线，则可见， g3(x)~g7(x)均是消极约束。而可行域D实际上只是由g1(x) 与g2(x)两个约束条件围成的。综合上述分析，本题的优 化数学模型如下
①疲劳强度条件
按题目要求，疲劳强度安全系数S不小于许用的安全系
数Smin，即满足 S Smin
Smin1.2
取
S
0
2ss 0
0s
m
式中， s 为弹簧材料的剪切屈服极限，可取
s0.5b74N0 /m2m b 为抗拉强度极限
0为弹簧材料的脉动循环疲劳极限，考虑到弹簧的材料，工
1.20 6 .033
x2.86 1
x1 3
x1 2
②稳定性条件
防止失稳的条件是最大工作载荷F2不大于压缩弹簧稳定性 的临界载荷FC，即
F2≤FC
临界载荷按下式计算
式中，HF0C 为弹0簧.8自1H 由30高K度1 ，它1 等6于.82压5并H D高20度2Hb与压并变
④弹簧致并圈的条件
为了保证弹簧在最大工作载荷作用下不发生并圈现象，则 要求弹簧在最大载荷F2作用下的高度H2大于压并高度Hb， 即
H2 H1 H2 H1h50.810.1640.64(mm ) Hb (n10.5)d(x30.5)x10 于是有约束条件
g 4 (x ) 4 .6 0 ( 4 x 3 0 .5 )x 1 0
cosx12x2216co4s5
整理得约束条件
2x1x2
g 2 ( x ) x 1 2 x 2 2 1 .4x 1 1 x 2 1 4 0 6
⑵按曲柄存在条件建立约束条件
l2 l1
l3 l1 l1l4 l2l3
l1l2l3l4 l1l3l2l4
实例：
有一气门弹簧。已知：安装高度h1=50.8mm，初载荷 F1=272N，最大工作载荷F2=680N，工作行程h=10.16mm 弹簧工作频率fr=50Hz，弹簧丝材料为50CrVA，油淬回火， 喷丸处理；弹簧工作温度为126oC，弹簧中径范围： 20mm≤D2≤50mm，总圈数：4≤n1≤50，支撑圈数n2=1.75 旋绕比C≥6，安全系数取1.2，弹簧刚度相对误差不超过0.01 试按重量最轻原则选出弹簧的参数方案。
L关3，系l，4作所为以变变量量。本一应般为考l2虑，，l3本，问l4，题与0 和初始 0 角五个0 。，但0 是也两有
转角变量并不是独立变量，而是杆长的函数。写出如下式
0 a rcc(l1o2sl(2 l1)2 l2l)32l3l42 0 a rcc(l1osl22)l23 l4l32l42
下面对表中第一，三次结果进行分析。
第一次计算：
初始步长(0) 0.1，输出结果为 x1 *4.9 2.4T，F1* 0.0128
离实际最优点甚远。产生这种情况的原因是 (0) 取得太大。当 迭代点到达上述位置时，由于此处目标函数等值线是下凹的， 在该点四周的迭代点均失败，因此就误作为最优输出。此解称
一，确立弹簧优化模型
⑴确定设计变量 影响弹簧重量的参数有弹簧钢丝直径d，弹簧中径D2，
弹簧总圈数n1。他们都是独立的参数。故取这三个参数为 设计变量。
x d D 2n 1 T x 1x 2x 2 T
先按连续变量处理。
⑵建立目标函数
该问题是追求弹簧重量最轻为目标，因此，以弹簧重量 作为目标函数
2 ri x 2
x
2 1
i
arccos
ri 2 24 10 ri
i
26 10 cos i
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由以上几个式子构成了一个目标函数的表达式。对应于每 一个机构设计方案x，即可算出输出角的偏差平方和F(x)。
3，确立约束条件 本题的设计受到两个方面的限制，其一是保证铰链四杆
n
miFn(x) (i si)2 i0
xDR2
D：g1(x)x12x221.41x14x2
360 g2(x)x12x2 21.41x14 x2 160
二，选择优化方法及结果分析
该题维数较低，用哪一种优化方法都适宜。这里选用约束 坐标轮换法。
计算时，曾用若干组不同的初始数据进行计算，从中选出 其中三组。见课本表8.1
⑤刚度误差要求
设按弹簧的受力与变形要求，弹簧应有的刚度为K，而按 已选参数使计算得的弹簧实际刚度为K 。题意规定其相对 误差不超过0.01。即
K K 0.01 K
弹簧实际刚度表示为
Gd 4
K
8
D
3 2
n
式中，G为材料剪切弹性模量，合金钢 G8.1140N/m2m
n为弹簧工作圈数，弹簧两端磨平，支撑圈数取1.75， 则n=n1-1.75
形量 b 之和，即
H0 Hbb
其中 取
Hb(n10.5)d
b 1.2
为弹簧的最大变形量
K为弹簧要求具有的刚度 K F 2F 168 207 4 2.2 0 (N /m)m h 1.1 06
为弹簧的最大变形量
F2 680 16 .92 (m)m
K 40 .2
最小为原则建立目标函数。为此，将曲柄转角为
0
~ 0
2
的区间分成n等分，从动摇杆输出角也有相对
应的分点。若各分点标号记作i，以各分点输出角的偏差 平方和作为目标函数，则有
n
F(x) (i si)2 i0
式中的有关参数按如下步骤及公式计算
①曲柄各等分点的转角
i
0
i
2
②期望输出角
弹簧总圈数限制
g9(x)x340
g1(0x)5 0x30
二，选择优化方法并进行计算
为为最优解。消除此故障的办法是，规定足够小的正数 ，当 步长 时，即使四周迭代点均失败也不终止迭代，而是将
减半，直至达到 为止。
第三次计算，(0) 0.001，步长虽然很小，但所得结果仍
很差，原因是在给定 x(0) 4.5 4.0T及 (0) 0.00的1 条件下
i=0，1，2，……，n
i 032(i 0)2 i=0，1，2，……，n
③实际输出角
按下页图计算
si
i i
i i
0 i i 2
其中，式中的角度右下图可得到
i arccos
ri 2
x
2 2
迭代点达到了邻近约束边界的死点。在它四周的迭代点或
是函数值增大，或是落入非可行域，于是终止迭代，输出
了伪最优解。这就是在约束坐标轮换法中曾阐明的退化现
象。克服这一弊病的办法是采取不同的初始点和步长，进
行多次运算后则其最优的方案作为问题的最优解，迭代路
线见下页图。
8.2弹簧的优化设计
本节只介绍普通圆柱压缩螺旋弹簧的优化设计。
W4d2(D2)n1
其中，为钢丝材料的密度，7.810 5N/m3 m
将 具体数值代入，并用x1，x2，x3代表设计变量，可写出
目标函数
F (x) 1 .92 15 4 0 x 1 2x2x3
⑶确立约束条件
按照弹簧的使用要求，依据对圆柱形压缩螺旋弹簧的设 计与计算公式，可列出如下各项设计约束
机构学理论已经证明，用铰链四杆机构实现两链架杆 对应转角的函数关系，由于机构独立的参数的数目最多 为五个，因此近似的实现预期的运动要求。在本题中， 从动摇杆欲实现输出角的函 数关系，而机构实际上只能 实现下图虚线所示的近似关 系。
输 出 角 函 数 图
对于该机构设计问题，可以取机构输出角的平方偏差
F m 为平均载荷 Fm1 2(F2F1)47N6
将 k ，k s ，F ，F m 带入 ， m 中，得
831.2x20.86 x2.86
1
m1.21x1.3122x2
74.456 x12
经整理得约束条件
g1(x)1
36 .45 2.25x4 2 0 6 .8659 .3x0 23
许用值 ，取 45
求此问题最优解，做法 如下。
一，建立优化问题的数学模型
1，确定设计变量
铰链四杆机构按主从动连架杆给定的角度对应关系进行 设计时，各杆长度按同一比例缩放并不影响主，从动杆转 角的对应关系。因此可把曲柄长度作为单位长度，即令 L1=1，其余三杆表示为曲柄长度的倍数，用其相对长度l2，
③无共振条件
弹簧在高频率变载荷的作用之下，为避免发生共振现象， 应进行共振条件的验算，设弹簧工作频率为fr，一阶自振频 率为f，无共振的条件为
13fr f
已知， fr 50Hz，两端固定钢制弹簧自振频率为
f
3.56105
d n1D22
于是得约束条件为
g3(x)3.5 6150x2 x 21 x3650 0
第八章 机械优化设计应用 实例
连杆机构的优化设计 弹簧的优化设计
8.1连杆机构的优化设计
连杆机构运动学设计的基本问题，可以归结为实现已知 运动规律和已知运动轨迹两大类。目前，对连杆机构的运 动综合问题采用优化方法已经很普遍。
本节通过一个铰链四杆机构实现主，从动构件给定函数 关系的设计问题，来说明最优化方法在连杆机构运动学综 合方面的应用。
设 0 ， 0 分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆
的位置角，见下图。他们是以机杆架AD为基线逆时针度量 的角度。
要求设计以曲柄摇杆机构，当曲柄由 0 转至 0 90 度时，
实现摇杆的输出角 与曲柄转角 之间的如下函数关系
0 032(0)2
并要求在给定的范围内， 机构最小传动角不得小于
得约束条件为 g5(x)0.401 2.x0 2 3(x1 3 2 1 1.7 4 5 0 x)1 4 54.2 00
⑥旋绕比条件
设计要求旋绕比C≥6（C=D2/d）,则有约束条件
g6(x)
x2 x1
60
⑦其他界限约束
弹簧中径范围20≤D2≤50，则有约束条件
g7(x)x22 00 g8(x)5 0x20