中学数学基础知识的教学什么是事物的本质属性本质属性

第8章中学数学基础知识的教学

1．什么是事物的本质属性？本质属性与属性有何区别？

答：在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，则称其为这种事物的本质属性．

一个对象的某个属性，可以是其他对象也具有的，但是本质属性是它区别于其他对象的属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不一定是本质属性．

2．什么是数学概念？数学概念是怎样产生的？

答：客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物之间存在各式各样的关系，这些性质和关系都是事物的属性．事物由于性质相同或不同，形成各种不同的类，属性相同的事物形成一类，性质不同的事物就形成不同的类．在人们在实践活动中，接受客观事物的各种各样信息，形成观念，这是感性认识阶段．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，即本质属性和特征，从而形成了反映事物的本质属性的特征和各种各样的概念．而各门学科都有它自己研究的对象，各门学科的概念总是反映事物某方面的本质属性．数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系．数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式．

数学概念的产生和发展的途径是不同的．有的数学概念是从它的现实模型直接反映得来的．例如，几何中的点、线、面、体等概念都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的；有些数学概念是在一些相对具体的概念的

基础上，经过多级抽象概括的过程才产生和发展而成的．例如，复数的概念是在实数概念的基础上产生出来的，而实数的概念是在有理数概念的基础上产生出来的，有理数概念是在自然数概念的基础上产生出来的；另外，有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的．例如，直线的“笔直”、“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形状理想化、纯粹化得来的；还有些数学概念是从数学的内部需要产生出来的．例如，为了数的乘法通行，规定一个数乘以0的积是0．又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、分数指数、无理数指数等概念；还有一些数学概念是根据理论上有存在的可能而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数 等概念都是在一定的理论基础上提出来的。还有一些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的。例如多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念都是从多边形的结构中得来的．还要指出，数学中许多概念随着数学的发展而发展成为新的概念．例如，从具有公共端点的两条射线所成的角的概念发展成为射线绕它的端点旋转所成的角的概念就是一个明显的例子．又如关于几何量角的三角函数发展成为实数的三角函数也是一个例子．由此可见，数学概念的产生和发展的过程是非常复杂的，但不管数学概念的形成如何复杂，也不管其如何抽象，它们总是在一定的感性认识基础上或者在一定的理性认识基础上产生出来并逐步发展的．

3．什么是概念的外延和内涵？分别举出代数、几何中的几个概念，说明其外延与内涵．

答：一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延，而它所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．

例如，在自然数系中，偶数这个概念的外延是0，2，4，6，8，…，2n，…等数组成的集合，它的内涵是“能被２整除”这个性质．又如，三角形ABC的顶点这个概念的外延是指A、B、C三点的集合．它的内涵包括点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质．

4．什么是概念的定义？常用的定义方法有哪几种？举例说明．正确的定义应符合哪些要求？

答：定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．常用的定义方法有以下几种：

（1）属概念加种差定义法．我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法．（2）发生式定义法．不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．

（3）揭示外延定义法．有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．

（４）归纳定义法．例如用递推公式an=an-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．

给概念下定义的要求有：

（１）定义应当相称．即必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们又如，不能把“有理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2等等．已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．

（２）定义不能恶性循环．如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．

（３）定义一般不用否定形式．定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．（４）定义中应没有多余的条件．定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．