用设数法解题
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用设数法解题
在数学应用题中,常常遇到一些题目中有多个未知数的情况,而有些未知数对于答案本身没有影响,解答时又不能确定其结果。这时,就可以采用“设数代入法”,即对题目中的未知条件,假设一个具体数(假设的这个数要尽量方便计算)或一个字母代入,然后求出解答。
例1:如果△△=□□□,△☆=□□□□,那么☆☆□=()个△。
分析:直接用图形互相代换,显然要多费周折。由第1个等式,可以设□=2,则△=3。根据第2等式,可知☆=8-3=5。因此☆☆□=5×2+2=12。
例2:小华上山的速度是每小时3千米,下山的速度是每小时6千米。求小华上山后又沿原路下山的平均速度。
分析一:设这段路程共有12千米,
则上山的时间为:12÷3=4(小时),
下山的时间为:12÷6=2(小时),
小华上山后又沿原路下山的平均速度为:
总路程÷总时间=(12×2)÷(4+2)=4(千米/小时)
分析二:设这段路程共有a千米,则上山的时间为:a÷3=31a(小时),下山的时间为:a÷6=61a(小时),
小华上山后又沿原路下山的平均速度为:总路程÷总时间=(a×2)÷(31a+61a)=2a÷21a=4(千米/小时)
【说明】分析二中的未知数a,参与了算式的构建和运算,在解答过程中会自动抵消,无法确定其具体数目。这样的未知数称为辅助未知数。
例3:某班一次数学考试,平均分为70分,其中43及格,及格的同学平均分为80分。那么不及格的同学平均分是多少?
分析:题目中有多个未知数,其中全班人数的多少与答案无关。可假设全班共有60人。
因此,全班数学考试的总分为:70×60=4200(分),
及格人数为60×43=45(人),
及格同学的总分为:80×45=3600(分)。
不及格同学的人数为:60-45=15(人),
不及格同学的总分为:4200-3600=600(分),
所以不及格的同学平均分为:600÷15=40(分)
例4:足球赛门票30元一张,降价后观众增加一半,收入增加41。问一张门票降价多少元?
分析:题目中有多个未知数,其中观众人数的多少与答案无关。可假设观众人数共有100人。
因此,原售票总价为:30×100=3000(元),
现售票总价为:3000×(1+41)=3750(元),
现观众人数为:100×(1+21)=150(人)
现在门票的售价为:3750÷150=25(元)
一张门票降价为:30-25=5(元)
例5:某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米,其中男孩比女孩多51,女孩的平均身高比男孩高10%。这个班男孩平均身高是多少?
分析:题目中不知道男孩、女孩的具体人数,可假设女孩有20人。
则,男孩的人数为:20×(1+51)=24(人)
全班共有:20+24=44(人)
全班的总身高为:115×44=5060(人)
由于女孩的平均身高比男孩高10%,20名女孩的身高相当于:20×(1+10%)=22(名)平均身高的男孩。
男孩的平均身高为:5060÷(22+24)=110(厘米)
例6:一片牧场上长满牧草,每天牧草都在匀速生长。这牧场的草供27头牛食用6周,可供23头牛食用9周,多少头牛8周可食完这片牧场的草?
分析一:题目中牧场的原有草量、每天生长的草量、1头牛1周吃草量都不知道。题目中的数量关系有:
27头牛6周吃的草量=牧场原有草量+6周生长的草量………①
23头牛9周吃的草量=牧场原有草量+9周生长的草量………②
?头牛8周吃的草量=牧场原有草量+8周生长的草量………③
可假设1头牛1周吃的草量为1千克,则
27头牛6周吃的草量为:27×6×1=162(千克)
23头牛9周吃的草量为:23×9×1=207(千克)
比较式子①②,可知:
3周生长的草量=207-162=45(千克)
1周生长的草量=45÷3=15(千克)
牧场原有草量为:162-15×6=72(千克)
由式子③,可知:
?头牛8周吃的草量为:72+15×8=192(千克)
牛的头数为:192÷(1×8)=24(头)
分析二:按倍数关系分析
27头牛6周吃的草量,相当于1头牛吃1周草量的27×6=162倍23头牛9周吃的草量,相当于1头牛吃1周草量的23×9=207倍比较式子①②,可知:
3周生长的草量,相当于1头牛吃1周草量的207-162=45倍
1周生长的草量,相当于1头牛吃1周草量的45÷3=15倍
牧场原有草量,相当于1头牛吃1周草量的162-15×6=72倍
由式子③,可知:
?头牛8周吃的草量,相当于1头牛吃1周草量的72+15×8=192倍牛的头数为:192÷(1×8)=24(头)
【题组练习】
1、张师傅骑自行车往返A、B两地,去时每小时行15千米,返回时因逆风,放慢了速度。已知张师傅往返途中的平均速度为每小时12千米。问返回时张师傅的速度是每小时多少千米?
2、某班男生人数是女生人数的32,男生平均身高为138厘米,全班同学的平均身高为132厘米。女生平均身高是多少厘米?
3、猎狗前面26步远处有一野兔,猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步,但兔跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。兔跑几步后被狗抓获?
4、某种少年读物,如果按原定价格销售,每售1本,获利0.24元;现在降价销售,结果售书量增加一倍,获利增加0.5倍。问:每本书售价降低了多少元?
5、经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源生长速度是一样的,那么,为满