大学物理第1章质点运动学知识点复习及练习

第1章 质点运动学（复习指南）

一、基本要求

掌握参考系、坐标系、质点、运动方程和轨迹方程的概念，合理选择运动参考系并建立直角坐标系，理解将运动对象视为质点的条件.

掌握位矢、位移、速度、加速度的概念；能借助直角坐标系计算质点在平面内运动时的位移、平均速度、速度和加速度.会计算相关物理量的大小和方向.

二、基本内容

1．位置矢量（位矢）

位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段，用r

表示．r 的端点表示任意时刻质点的空间位置．r

同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对

坐标轴的方位．位矢是描述质点运动状态的物理量之一．对r

应注意：

（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即)(t r r

．此式即矢量形式的质点运动方程．

（2）相对性：用r 描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r

可以是不相同

的．它表示了r

的相对性，也反映了运动描述的相对性．

（3）矢量性：r

为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法．在平面直角坐标系xy o 系中

j y i x r

22y x r r

位矢与x 轴夹角正切值

x y /tan

质点做平面运动的运动方程分量式：)(t x x ，)(t y y ．

平面运动轨迹方程是将运动方程中的时间参数消去，只含有坐标的运动方程)(x f y . 2．位移

j y i x t r t t r r

)()(

r

的大小 22y x r

．

注意区分：（1）r 与r ，前者表示质点位置变化，r

是矢量，同时反映位置变化的大小和方位．后

者是标量，反映从质点位置到坐标原点的距离的变化．（2）r

与s ，s 表示t t t 时间内质点通过的路程，s 是标量．只有当质点沿直线某一方向前进时两者大小相同，或0 t 时，s r

．

3．速度

定义t r d d v ，在直角坐标系xy o 中

j y i x r

j i j t

y i t x

y x d d d d v v v

22

2

2d d d d y x t y t x v v v

v

的方向：在直线运动中，0 v 表示沿坐标轴正向运动，0 v 表示沿坐标轴负向运动．

在曲线运动中，v

沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方．

对速度应注意：瞬时性，质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；矢量性，速度为矢量，具有大小，方向，求解速度应同时求其大小和方向；相对性，运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参考系，坐标系，在确定的坐标系中求质点的速度；叠加性，因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的速

度也是可叠加的，要注意区别速度和速率．要注意t r d d 与t r d d

，t r

d d 与t r d d 的区别．

4．加速度

t a d d v

，描述质点速度矢量随时间的变化，其中包括速度的大小和方向随时间的变化．不论速度的大小变化，或者是速度方向的变化，都会产生加速度．加速度为矢量．

在直角坐标系xy o 中，j a i a a

y x ，其中

22x x d d d d t x

t a v ，22y y d d d d t

y t a v

2

y

2x a a a a ． 加速度的方向与速度方向无直接关系．在直线运动中，若a 与v 同向，则质点作加速运动，a 与v

反

向，则质点作减速运动．在曲线运动中，a

方向总是指向曲线凹的一侧．加速度的大小与速度的大小也没有直接关系，只与速度大小的变化量有关．

三、例题详解

1-1、一人自坐标原点出发，25s 内向东走30m ，后10s 内向南走10m ，再后的15s 内向正西北走18m ．求在这50s 内，平均速度的大小和方向．

解：

j i j i j i BC

AB OA OC

73.227.17)45sin 45cos (181030

m 48.17 方向=8.98°（东偏北）

m/s 35.0 t r v ，方向与位移方向相同，均为东偏北8.98°

．

东

1-2、有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为3225.4t t x （SI ）．试求： （1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内的路程．

解：（1）1秒末位置坐标m 5.21 x ，2秒末位置m 22 x ，m/s 5.0/ t x v （2）269d /d t t t x v ，m/s 62629(2)2 v

（3）质点运动中间速度发生了方向变化，所以路程应累计相加

令0692 t t v ，得5.1 t ，m 375.3)5.1( x ，所以m 25.2)5.1()2()1()5.1( x x x x s

1-3、一质点沿x 轴运动，其加速度为t a 4 （SI ），已知0 t 时，质点位于m 10 x 处，初速度00 v ．试求其位置和时间的关系式．

解：t t

a 4d d

v

，t t d 4d v ， t t t 00d 4d v v 22t v 22d d t t

x v ，103

2

32d 2d 303020

t x t x t t x t

x x （SI ）

1-4、一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2d d v v/K t ，式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度)exp(0Kx v v 其中0v 是发动机关闭时的速度．

证：

2d d d d d d d d v v v v v K x

t x x t ∴ x K d d v v

Kx x K x

)ln(d d 000v v

v v v

v ∴ )exp(0Kx v v

四、习题精选

1-1、某质点作直线运动的运动学方程为6533 t t x （SI ），则该质点作（提示：求二阶导数，算出加速度表达式，再分析）

［ ］

（A ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． （C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． （D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向．

1-2、一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度m/s 2 v ，瞬时加速度2m/s 2 a ，则1秒钟后质点的速度（提示：注意加速度和速度的瞬时性）

［ ］