习题课概率统计课件

扩展 可修改条件为X~N(μ, σ2),考查同
样问题.
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例2 设总体X~N(0, σ2)(σ>0), X1,X2,…, X6是取自总体X的样本,设
Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,
则当c= , cY服从自由度为 的 2 分布.
分析 由 2分布的定义,只要把括号里面的 统计量化为服从标准正态分布的随机变量即可.
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本章重点： 1. 简单随机样本的概念;
2. 统计量定义; 3. 常用的抽样分布及抽样分布定理. 本章难点： 1. 简单随机样本的利用问题; 2. 统计量的判断; 3. 抽样分布的有关证明. 一、主要内容归纳
1. 数理统计的基本概念
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表6-1 数理统计的基本概念
总体 个体
3 2
3
3
即
c
1 3
2
, 自由度为2.
解 因为Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2, 因为 Xi ~ N(0,2),所以
X 1X 2X 3~N (0,3 2), X 4X 5X 6~N (0,3 2).
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故
X X X
1 2 3 ~N(0,1),
X X X
4 5 6 ~N(0,1)
3
3
所以 Y(X 1X 2X 3)2(X 4X 5X 6)2~2(2).
具有一定共同属性的研究对象的全体. 组成总体的每一个元素.
简单随机 样本
若X1,X2,…,Xn相互独立且与总体X同分布, 则称 X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本, 简称为样 本.
统计量 样本X1,X2,…,Xn的任一不含未知参数的函数. 统计量的分布, 称为抽样分布.
抽样分布
分位点
设随机变量X的分布函数为F(x), 对于给定的数 a(0<a<1), 若Fa满足P{X>Fa}=a, 则称Fa为随机变量X 的分布的上a分位点.
第六章 数理统计的基本概念
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内容简介：
在第六章中，主要是通过所研究 对象的其中一部分的性质和数量指标来推断
研究对象的整体性质和数量指标，即用样 本特征来推断总体特征. 分三块讲解，一是 “主要内容归纳”，二是“例题分类解 析”，三是“学习与研究方法”总结. 在 “例题分类解析”部分，讲解了： 1. 确定统计量服从什么样的抽样分布 2. 利用抽样分布进行有关概率计算.
(1)
S12
2 1
/ S22
/22
~F(n1 1,n2
1);
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(2)
当
2 1
22
2
时
(X Y)( )
1 2 ~t(n n 2).
1
2
11
S
wn n
1
2
其中
S2
(n1)S2(n1)S2
1
1
2
2 ,S
S2
w
nn2
w
w
12
二、 例题分类解析
1. 确定统计量服从什么样的抽样分布
例1 X1,X2, ,Xn是总体X~B(1, p)的样本, 则
和二项分布的定义, 知
n
X i ~B (n,p).
i 1
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由于E(X)=p, D(X)=p(1-p). 由中心极限定理知
Xp ~ N (0,1)
p(1 p)
, 所以样本均值近似
n
服从正态分布，即
X
~
N( p,
p(1
p) ).
n
讲评 样本均值是样本的函数且不含未知
参数, 从而样本均值也是统计量,其服从的极限 分布由中心极限定理求出.
3. 常用的抽样分布
设 X1,X2, ,Xn 是来自总 体N(0,1)的样本, 则称统计
2 分布 量 2=X1 2X2 2 Xn 2服从自由度为n的 2
分布, 记为
2
~
2 (n
)
.
设X~N(0,1),Y~ (2n ) 且相互独立, 则称
t分布
X t
服从自由度为n的t分布, 记为t~t(n).
Y /n
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4. 常用的重要结论
设X,X , 12
, X 是总体N n
(
,
2 ) 的样本,wenku.baidu.comX
,
S
2
分别 是样本均值与样本方差,有
(1)
X
2 ~ N ( , );
(2)
(n 1)S2
n ~ 2(n1);
2
(3) X 与 S 2 独立;
(4)
X
~ t(n 1).
S/ n
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设X1,X2, 与 ,Xn1 Y1,Y2, ,Yn2 分别是来自正态
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样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
.
1 n
X n i1 X i
.
S2
1 n1
n i1
(Xi
X)2
.
S
1 n1
n i1
(Xi
X)2
Ak
1 n
n i 1
Xik , k≥1
.
Bk
1
n
n i1
(Xi
X)k,k≥2
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讲评 上述常用的统计量, 我们在以后学习 中经常使用, 读者应该熟练掌握计算公式.
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讲评 (1) 统计量包含两个关键词: 一是 样本的函数, 二是不包含未知参数. (2) 上a 分位点是一个数, 它是指服从某 一分布的随机变量大于这个数的概率正好等于 a, 这个数就称为这个分布的上a分位点. 这个定 义在参数估计和假设检验中有重要作用.
2. 常用的统计量 表6-2 常用的统计量
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设 X~2(m),Y~2(n)且相互独立, 则称
F分 布
F
X /m Y /n
服从自由度为m,n的F分布,记为 F~F(m,n).
讲评 上述三个抽样分布的定义, 在一些证明题
中会经常遇到; 常用的抽样分布与分位点结合起来, 在 后面的参数估计与假设检验中经常使用; 三个抽样分 布都是利用标准正态分布和独立性给出的结构型的定 义,如果给出了正态分布,需要将随机变量标准化为服 从标准正态分布,即可利用三个抽样分布的定义解决问 题.
总体N
(
1
,
2 1
)
与
N
(
2
,
2 2
)
的样本,且这
两个样本相互独立,
设 分别是这两个样本的样 1 n1
1 n2
X n1
i1
Xi,Y
n2
Yi
i1
本均值,
S 1 2n 1 1 1in 1 1(X i X )2,S 2 2n 2 1 1in 2 1(Y i Y )2
分别是这两个样本的样本方差, 则有
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n
X i 的分布为 , 当n很大时, 样本均值 X
i1
近似服从
分布.
分析 X1,X2,…,Xn 相互独立,且服从两点分
n
布, 所以由二项分布的定义可以求得和 X i 的
i1
分布.
解 因 X1,X2,…,Xn是来自总体X~B(1, p)
的样本, 故 X1,X2,…,Xn相互独立且
Xi~B(1,p)(i=1,2,…,n), 由两点分布可加性