复变函数课后习题答案(全)

习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）1

32i

+（2）(1)(2)i i i --

（3）131i i i

--（4）821

4i i i -+-

解：（1）1323213i

z i -==

+， 因此：32

Re , Im 1313z z ==-，

（2）3(1)(2)1310

i i i

z i i i -+===

---， 因此，31

Re , Im 1010z z =-=，

（3）133335122

i i i

z i i i --=-=-+=

-， 因此，35

Re , Im 32z z ==-，

（4）821

41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2

）1-+（3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2

cos

sin

2

2

i

i

i e π

π

π

=+=

（2

）1-+23

222(cos sin )233

i i e πππ=+=

（3）(sin cos )r i θθ+()2

[cos()sin()]22i

r i re

π

θππ

θθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θ

θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin 2sin cos 222

i i θ

θθ

θθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1

）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-

（3

）(1)(cos sin )

(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+--（4）

23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-

（5

6

解：（1

）5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+- （2）100

100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-

（3

）

(1)(cos sin )(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+--

（4）2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ϕϕϕϕ+- （5

=

（6

= 4．

设1

2 ,z z i =

=-试用三角形式表示12z z 与12z z

解：1

2cos

sin

, 2[cos()sin()]4

466

z i z i π

π

ππ

=+=-+-，所以

12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ

=-+-=+，

5． 解下列方程： （1）5

()

1z i +=（2）440 (0)z a a +=>

解：（1

）z i +=由此

25

k i z i e

i π=-=-，(0,1,2,3,4)k =

（2

）z

==11

[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的

4

个根分别为：

), 1), 1), )i i i i +-+---

6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+

z x y

≤≤+

证明：首先，显然有z x y =≤+；

其次，因2

22,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+

从而

z =≥

。

（2）对任意复数12,,z z 有2

2

2

1212122Re()z z z z z z +=++

证明：验证即可，首先左端2

21212()()x x y y =+++，

而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =

+++++-

2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++，

由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若a bi +是实系数代数方程101100n

n n a z

a z a z a --++++=L

的一个根，那么a bi -也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n

n z z =，

由此得到：10110()

()0n

n n a z a z a z a --++++=L

由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。结论得证。 （4）若

1,a =则,b a ∀≠皆有

1a b

a ab

-=-

证明：根据已知条件，有1aa =，因此：

1

1()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。

（5）若1, 1a b <<，则有

11a b

ab

-<- 证明：

222

()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，

2

2

2

1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，

因为

1, 1a b <<，所以，

2

2

2

2

2

2

1(1)(1)0a b a b a b +--=--<，