抽样技术与样本平均数的抽样分布

E( X ) X
N n D( X ) N 1 n
2 X 2
两样本均数之差的抽样分布
• 总体正态，方差已知
• 总体非正态，方差已知
• 总体正态，方差未知 • 总体非正态，方差未知
从总体分布到抽样分布
• 总体X的概率分布
一 测验分数(X) 户数 概率 120 1 0.20 二 125 1 0.20 三 130 1 0.20 四 135 1 0.20 五 140 1 0.20
• 这是一个均匀分布（uniform distribution）总体 • 总体均数为130，方差为50
N
i
N
=(120+122.5×2+125×3+127.5×4+130×5+13 2.5×4+135×3+137.5×2+140)/25= 30
2 ( X ) X i 1 N

2 X

N
25
样本均值的抽样分布
• 若（X1，X2，…，Xn）是抽自总体X的一 个容量为n的简单随机样本，则依据样本 的所有可能观察值计算出的样本均值的 分布，称为样本均值的抽样分布。 • 定理 设（X1，X2，…，Xn）是抽自正态分 布总体X~N(μ, σ2)的一个容量为n的简单 随机样本，则其样本均值也是一个正态 分布随机变量，且有
E( X ) X 2 2 D( X ) X n
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 非正态总体、σ２未知时 设总体X分布形态未知，从中抽取容 量为n的样本，则大样本时其样本均值的 抽样分布趋近t分布
有限总体修正系数
• 设总体X服从分布F(x)，（X1，X2，…， Xn）是以不放回形式抽自该总体的一个 样本，总体均值与样本均值、总体方差 与样本均值的方差有如下关系：
– 依据调查者的经验有目的地挑选一部分个体 组成样本，然后根据对样本的观察来推断总 体的基本情况。 – 典型调查、重点调查就是常见的非概率抽样。
• 概率抽样(probability sampling)
– 总体中每个个体被抽中的概率是已知的。可 以根据概率论的原理，进行随机抽样，能计 算出调查结果的理论精确度和可靠程度。
例题
• 某种灯具平均寿命为5000小时，标准差 为400小时，从产品中抽取100盏，问它 们的平均使用寿命不低于4900小时的概 率是多少？
• 如果是从2000盏灯具中不放回地抽取100 盏呢？
样本均值的抽样分布（σ2未知）
• 正态总体、σ２未知时 设总体X服从正态，从中抽取容量为n 的样本，则样本均值的抽样分布为df=n1的t分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
三种不同性质的分布
• 总体分布（population distribution）：总 体内个体观察值的次数分布。 • 样本分布（sample distribution）：样本 内个体观察值的次数分布。 • 抽样分布（sampling distribution）：根 据所有可能的样本观察值计算出来的某一 种统计量的观察值的概率分布。
抽样技术与 样本平均数的抽样分布
抽样调查(sampling survey)
• 从总体中抽取部分个体组成样本，对该 样本进行观察，进而推断未知总体情况， 称为抽样调查。 • 抽样调查分为非概率抽样调查和概率抽 样调查两大类。
抽Fra Baidu bibliotek调查的分类
• 非概率抽样(nonprobability sampling)
样本（n=2）的所有可能结果
(120, 120) M=120 (120,125) M=122.5 (120,130) M=125 (120,135) M=127.5 (120,140) M=130 (125,120) M=122.5 (125,125) M=125 (125,130) M=127.5 (125,135) M=130 (125,140) M=132.5 (130,120) M=125 (130,125) M=127.5 (130,130) M=130 (130,135) M=132.5 (130,140) M=135 (135,120) M=127.5 (135,125) M=130 (135,130) M=132.5 (135,135) M=135 (135,140) M=137.5 (140,120) M=130 (140,125) M=132.5 (140,130) M=135 (140,135) M=137.5 (140,140) M=140
样本均值的抽样分布（σ2已知）
• 非正态总体、σ２已知时 设总体X的均值μ和σ2，当样本容量趋 向无穷大时，样本均值的抽样分布趋于 正态分布，且样本均值的数学期望和方 差分别为
E( X ) X 2 2 D( X ) X n
例题
• 某类产品的强度不服从正态分布， 总体平均数为100，总体标准差为5。 从该总体中抽取一个容量分别为25 的简单随机样本，求这一样本的样 本均值介于99~101的概率。如果容 量为100呢？
多阶段抽样
• 在整群抽样中，如果对抽中的整群不是 调查它所包含的全部个体，而是从中再 抽取部分小的整群，然后对小的整群中 的个体进行全面调查。 • 多阶段整群抽样比单阶段整群抽样灵活， 在样本容量相同的条件下，多阶段抽样 的样本个体在总体中的散布比单阶段抽 样均匀。 • 多阶段抽样可以利用现成的行政区划作 为各阶段划分整群的依据。大规模抽样 调查一般都采用多阶段抽样方法。
机械抽样
• 又称为系统抽样、等距抽样，其做法是， 先将总体中的所有个体按顺序编号，然后 每隔一定的间隔k抽取个体，组成样本。 • 能跑遍整个总体 • 注意总体的周期性变化
整群抽样
• 以整群为单位的抽样方法，即从总体中 抽出来的个体同属于某个群体。 • 使用整群抽样的目的主要是为了方便和 节省费用。 • 整群抽样也有缺点，它抽取的个体在总 体中分布不均匀，因此抽样误差常常大 于简单随机抽样。
样本均值的抽样分布
E( X ) X
D( X )
2 X

)
2
n
X ~ N ( ,

2
n
X 2 Z ~ N (0,1 ) / n
例题
• 某类产品的强度服从正态分布，总体平 均数为100，总体标准差为5。从该总体 中抽取一个容量为25的简单随机样本， 求这一样本的样本均值介于99~101的概 率。如果容量为100呢？
常用的抽样方法
• 简单随机抽样(simple random sampling) • 分层随机抽样(group sampling, stratification sampling) • 系统抽样(systematic sampling) • 整群抽样(cluster sampling)
简单随机抽样
样本（n=2）的平均数的抽样分布
平 均 数 次 数
概 率
120 122. 125 127. 130 132. 135 137. 140 5 5 5 5 1
.04
2
.08
3
.12
4
.16
5
.20
4
.16
3
.12
2
.08
1
.04
不同总体情况下的抽样分布
示意图
抽样分布的定理
• 设总体X服从分布F(x)，（X1，X2，…， Xn）是抽自该总体的一个简单随机样本 （simple random sample），总体均值与 样本均值、总体方差与样本均值的方差 有如下关系：
• 从总体的N个个体中，完全以随机形式 （不加人为干扰地）抽取n个个体组成一 个样本。在抽取的过程中，总体中每个 个体被抽到的概率是均等的，并且在任 何一个个体被抽取之后总体内成分不变 （抽样的独立性）。 • 无法利用已知总体的信息
分层随机抽样
• 一种有人为干预的限制性随机抽样。 • 按有关的因素或指标将总体划分为互不 重叠的几个部分（层），再从各部分 （层）中独立地抽取一定数量的个体， 最后将各个部分（层）中抽取的个体合 在一起，组成一个样本。 • 各层内部的差异要小，层与层之间的差 异要大 • 等比例分层抽样
E( X ) X
D( X )
2 X

2
n
抽样分布的定理
• 从总体中随机抽出容量为n的一切可能样 本的平均数之平均数等于总体的平均数； • 从总体中随机抽出容量为n的一切可能样 本的平均数的方差，等于总体方差除以 n．
样本（n=2）平均数的平均数和方差
X
X
i 1