江苏省南通市海安县实验中学高中数学 13二项式系数的性质及应用课件1 新人教A版选修23
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二项式系数性质及应用 (1)
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,… 时, (a+b) n展开式的二项式系数 ,写 出n=6时的二项式系数 .
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b) 1 ------------------------- 1 1 (a+b) 2 ------------------------ 1 2 1 (a+b) 3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b) 4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b) 5 -------------- 1 5 10 10 5 1
……
(a+b)n的展开式的二项式系数 : Cn0 ,Cn1 ,??,?Cnr ,??,?Cnn
从函数角度看 , f(r), 其定义域为
Cnr
可以看成是以 r {0,1,2,… ，n}
为自变量的函数 ,其图象
是 n+1 个孤立的点 .
二项式系数的哪些性质：
(1)对称性： Cnm
?
C n? m n
(2)每行两端都是 1，除1以外的每个数都等于“肩”
一二一
一三 三一 一四 六四一 一五 十十五一 一六 十二十六一
五十五
杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
10 1
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
典型例题
1、求证：在 (a+b)n的展开式中 ,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和 .
Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ? ???? Cn1 ? Cn3 ? Cn5 ? ???? 2n?1
是
.(用数字作答 ) (Hale Waihona Puke Baidu004高考,天津卷)
9. 已知 (ax+1) 4=a0+a1x+a 2x2+…+a 4x4,求-a0+a1-a2+a3-a4 的值 .
(4)求 (a0 ? a2 ? a4 ?L ? a100)2 ? (a1 ? a3 ? a5 ?L ? a99)2
(5)求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? L ? | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为 A,偶数项之和为 B, 则(1-x 2)n的展开式的各项和为 ___________.
上两数之和 .即:Cnm
?
C m?1 n
?
Cm n?1
(3)Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? ???? Cnn ? 2n
(4)增减性与最大值：
当r ?
n
? 2
1
时,
Cnr
? Cnr ?1; 当 r ?
n
n
? 2
1
时,
Cnr
?
Cnr ?;1
①当 n 为偶数时 ,
Cn2n
?
最大;
1
n?1
②当n为奇数时, Cn 2 、Cn 2 最大;
(a+b) 6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
各项的二项式系数可以排成如图形状 :
C00
你能得到二项式系数的 哪些性质 ?
C40C30CC2041CC1310CC2412CC1132CC4232C33C44
C60
C50C61C51C62
C52 C63
C53
C54 C55 C64 C65 C66
1 (r ? 2) r (r ? 1)
综合练习
1、915÷10的余数是 _______; 2、今天是星期六 ,今天后的第 100100天是星期_____.
3、二项式(x-2) 9的展开式中各项系数之和为 ( ) A.512 B.-1 C.1 D.-10
4、(2x-y) 5的展开式中各项系数和是 ________. 展 开式中二项式系数和是 _______.
2、求证：Cn1
?
2C
2 n
?
3C
3 n
?
????
nC
n n
?
n ?2n?1
方法(1):倒序相加；
方法(2):运用重要结论： kCnk ? nCnk??11
变： Cn1 ? 2Cn2 ? 4Cn3 ? ???? 2n?1Cnn
典型例题
3、求证:对一切正整数 n,都有:
2 ? (1? 1 )n ? 3
n
(1?
1)n n
?
Cn0
?
Cn1
?1 n
?
Cn2
?1 n2
?L
? Cnr
?1 nr
?L
?
Cnn
?1 nn
? 1? 1? 1 ? 1 ?L ? 1
1? 2 2? 3
n(n ? 1)
? 3? 1 n
C
r n
?n1r
?
n(n ? 1)(n ? 2)L r !?nr
(n ? r ? 1) ? 1 ? r!
巩固练习
5、(x-2) 9的展开式中 ,各二项式系数的最大值是 ____, 它是展开式中的第 _____项.
6、(2a-3b) n的展开式中 ,二项式系数最大的是第 8项和 第9项,则它的第4项的系数是 ________.
7、已知(1-2x) n的展开式中 ,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是 _________.
,
那么常数项是 ( )
A.462 B.252
C.210 D.10
巩固练习
10.设 (2 ? 3x)100 ? a0 ? a1x ? a 2 x2 ? L ? a100 x100
(1)求a0;
(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 ; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? L ? a99 ;
Cnr 先增后减,在中间取得最大值 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
一
4 1 4 10 20 35 56 84
一一
515 616 71 7 81 8 91 9
15 35 70 126 21 56 126 28 85 36
8.(1+x+1/x) 7展开式中的常数项为 ________.
9.设(1+x+x 2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
7.若(1-2x)2004= a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004,则
(a 0+a1)+(a 0+a2)+(a 0+a3)+…+(a 0+a2004)的值
巩固练习
8.在二项式 (a-b) 2n+1的展开式中 ,下列结论正确的是 ( ) A.中间一项的二项式系数最大 . B.中间两项的二项式系数相等且最小 . C.中间两项的二项式系数相等且最大 . D.中间两项的二项式系数是互为相数 .
9.如果 ( x3 ?
1 x3
)n
的展开式中 ,只有第6项的系数最大
问题情境
1.观察n=0,1,2,3,… 时, (a+b) n展开式的二项式系数 ,写 出n=6时的二项式系数 .
(a+b)0 ---------------------------- 1 (a+b) 1 ------------------------- 1 1 (a+b) 2 ------------------------ 1 2 1 (a+b) 3 -------------------- 1 3 3 1 (a+b) 4 ------------------- 1 4 6 4 1 (a+b) 5 -------------- 1 5 10 10 5 1
……
(a+b)n的展开式的二项式系数 : Cn0 ,Cn1 ,??,?Cnr ,??,?Cnn
从函数角度看 , f(r), 其定义域为
Cnr
可以看成是以 r {0,1,2,… ，n}
为自变量的函数 ,其图象
是 n+1 个孤立的点 .
二项式系数的哪些性质：
(1)对称性： Cnm
?
C n? m n
(2)每行两端都是 1，除1以外的每个数都等于“肩”
一二一
一三 三一 一四 六四一 一五 十十五一 一六 十二十六一
五十五
杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
10 1
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
典型例题
1、求证：在 (a+b)n的展开式中 ,奇数项的二项式 系数之和等于偶数项的二项式系数之和 .
Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ? ???? Cn1 ? Cn3 ? Cn5 ? ???? 2n?1
是
.(用数字作答 ) (Hale Waihona Puke Baidu004高考,天津卷)
9. 已知 (ax+1) 4=a0+a1x+a 2x2+…+a 4x4,求-a0+a1-a2+a3-a4 的值 .
(4)求 (a0 ? a2 ? a4 ?L ? a100)2 ? (a1 ? a3 ? a5 ?L ? a99)2
(5)求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? L ? | a100 |
7.(1+x)n展开式的奇数项之和为 A,偶数项之和为 B, 则(1-x 2)n的展开式的各项和为 ___________.
上两数之和 .即:Cnm
?
C m?1 n
?
Cm n?1
(3)Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? ???? Cnn ? 2n
(4)增减性与最大值：
当r ?
n
? 2
1
时,
Cnr
? Cnr ?1; 当 r ?
n
n
? 2
1
时,
Cnr
?
Cnr ?;1
①当 n 为偶数时 ,
Cn2n
?
最大;
1
n?1
②当n为奇数时, Cn 2 、Cn 2 最大;
(a+b) 6 ------------ 1 6 15 20 15 6 1
各项的二项式系数可以排成如图形状 :
C00
你能得到二项式系数的 哪些性质 ?
C40C30CC2041CC1310CC2412CC1132CC4232C33C44
C60
C50C61C51C62
C52 C63
C53
C54 C55 C64 C65 C66
1 (r ? 2) r (r ? 1)
综合练习
1、915÷10的余数是 _______; 2、今天是星期六 ,今天后的第 100100天是星期_____.
3、二项式(x-2) 9的展开式中各项系数之和为 ( ) A.512 B.-1 C.1 D.-10
4、(2x-y) 5的展开式中各项系数和是 ________. 展 开式中二项式系数和是 _______.
2、求证：Cn1
?
2C
2 n
?
3C
3 n
?
????
nC
n n
?
n ?2n?1
方法(1):倒序相加；
方法(2):运用重要结论： kCnk ? nCnk??11
变： Cn1 ? 2Cn2 ? 4Cn3 ? ???? 2n?1Cnn
典型例题
3、求证:对一切正整数 n,都有:
2 ? (1? 1 )n ? 3
n
(1?
1)n n
?
Cn0
?
Cn1
?1 n
?
Cn2
?1 n2
?L
? Cnr
?1 nr
?L
?
Cnn
?1 nn
? 1? 1? 1 ? 1 ?L ? 1
1? 2 2? 3
n(n ? 1)
? 3? 1 n
C
r n
?n1r
?
n(n ? 1)(n ? 2)L r !?nr
(n ? r ? 1) ? 1 ? r!
巩固练习
5、(x-2) 9的展开式中 ,各二项式系数的最大值是 ____, 它是展开式中的第 _____项.
6、(2a-3b) n的展开式中 ,二项式系数最大的是第 8项和 第9项,则它的第4项的系数是 ________.
7、已知(1-2x) n的展开式中 ,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是 _________.
,
那么常数项是 ( )
A.462 B.252
C.210 D.10
巩固练习
10.设 (2 ? 3x)100 ? a0 ? a1x ? a 2 x2 ? L ? a100 x100
(1)求a0;
(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? L ? a100 ; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? L ? a99 ;
Cnr 先增后减,在中间取得最大值 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
21 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
一
4 1 4 10 20 35 56 84
一一
515 616 71 7 81 8 91 9
15 35 70 126 21 56 126 28 85 36
8.(1+x+1/x) 7展开式中的常数项为 ________.
9.设(1+x+x 2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a0+a2+a4 …+a2n的值为_______.
7.若(1-2x)2004= a0+a1x+a2x2+…+a2004x2004,则
(a 0+a1)+(a 0+a2)+(a 0+a3)+…+(a 0+a2004)的值
巩固练习
8.在二项式 (a-b) 2n+1的展开式中 ,下列结论正确的是 ( ) A.中间一项的二项式系数最大 . B.中间两项的二项式系数相等且最小 . C.中间两项的二项式系数相等且最大 . D.中间两项的二项式系数是互为相数 .
9.如果 ( x3 ?
1 x3
)n
的展开式中 ,只有第6项的系数最大