高中数学直线与平面的夹角知识点解析

3 达标检测
PART THREE
1.已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉
＝－ 12，则l与α所成的角为
√A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析 设l与α所成的角为θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝21.
∴θ＝30°.
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2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值为
第三章 §3.2 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面的夹角θ. 3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中 的二面角的平面角. 4.掌握求二面角的基本方法、步骤.
思考辨析 判断正误
SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU
1.直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互 余.( × ) 2.二面角的大小范围是 0，π2 .( × ) 3.二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小.( × )
2 题型探究
PART TWO
(2)求二面角E—BC—A的余弦值.
素养评析 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入 深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台.第(1)问侧重对 立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单.求解第 (2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐 标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝ ，2 PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P—ABCD的体积 最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的 几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向 量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题 来处理.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZ面角
典例 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方 形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D—AF—E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥EFDC； 证明 由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE， 所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF， 故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图， A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l. (3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别 作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α—l—β的平面角，如图所示.由 等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关. (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. (5)二面角的范围是[0°，180°].
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
PART ONE
知识点一 直线与平面所成的角 1.直线与平面所成的角
90° 0° 射影
2.最小角定理 最 ―线―角线―的―角―关、―系―线式―面→
如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是 _c_o_s_θ_＝__c_o_s_θ_1_·_co_s__θ_2
题型一 求直线与平面的夹角
例1 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 2 a，求AC1与侧 面ABB1A1所成的角.
反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适 当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向 量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.
A.
2 4
B.
2 3
√C.
6 3
D.
3 2
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3.已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角 为_4_5_°_或__1_3_5_°_. 解析 设二面角的平面角为θ， ∵cos〈m，n〉＝1×1 2＝ 22，∴θ＝45°或 135°.
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3 4.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为___3___. 解析 作AO⊥底面BCD，垂足为O，O为△BCD的中心， 设正四面体的棱长为a， 则 OB＝ 33a，∠ABO 为所求角， cos∠ABO＝ 33.
小
角
定
理
―最―定―小理―角→
斜线和它在平面内的_射__影__所成的角，是斜线和这个平 面内所有直线所成角中_最__小__的__角_
知识点二 二面角及理解 1.二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分 都叫做半平面.从一条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫做二面角.如图 所示，其中，直线l叫做二面角的 棱 ，每个半平面叫做二面角的 面 ，如图 中的α，β.
跟踪训练2 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，求锐二面角 A—PB—C的余弦值.
题型三 空间角中的探索性问题
例3 如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD； 证明 因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD； 又因为平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量 法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单 的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小 (相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角 还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于 法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
跟踪训练1 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形 ，AD∥BC， ∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB 的中点，求BD与平面ADMN所成的角θ.
题型二 求二面角
例2 在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD， 且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.
跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝
AC＝1，且AB⊥AC，点M是CC1的中点，点N是BC的中点，点P在直线A1B1 上，且满足 A→1P＝λA—1→ B1.
(1)证明：PN⊥AM；
(2)当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角最大值的正 切值.
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5.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的 2
余弦值为__7__.
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.线面角可以利用定义在直角三角形中解决. 2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平 面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝||aa|·|nn||. 3.二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二 面角的大小关系.
2.用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量 n1⊥l，n2⊥l，则〈__n_1_，__n_2_〉__等于该二面角的平面角. (2)如图，设m1⊥α，m2⊥β，则角〈__m__1，__m__2_〉_与该二面角大小相等或互补.