云南省中考数学压轴题及答案

AO2 CO OP CO AO2 22 2 OP 6 3
∴点 C 的坐标： C( 2 , 0) 3
⑶ 设除点 C 外，在坐标轴上还存在点 M ，使得 MAB 是直角三角形 Ⅰ.在 RtMAB 中，若 AMB Rt，那么 M 是以 AB 为直径的圆
与坐标轴的交点，
ⅰ.若交点在 y 上（如图），设 M (0, m) ，
（2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点 D、P 的直线与 x 轴交于点 M。问：在 x
轴的正半轴上，是否存在使△DOM 与△ABC 相似的点 M 若存在，请求出点 M 的坐
标；若不存在，请说明理由。
（3）当点 P 沿直线 AC 移动时，以点 P 为圆心、R（R＞0）为半径长画圆，
得到的圆称为动圆 P。若设动圆 P 的半径长为 1 AC，过点 D 作动圆 P 的两条切线 2
-5-
（云南省 2010 年）24.（本小题 12 分）如图，在平面直角示系中，A、B 两 点的坐标分别是 A（-1,0）、B（4,0），点 C 在 y 轴的负半轴上，且∠ACB＝90°
（1）求点 C 的坐标； （2）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （3）直线 l⊥x 轴，若直线 l 由点 A 开始沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速 度匀速向右平移，设运动时间为 t（0≤t≤5）秒，运动过程中直线 l 在△ABC 中所扫
∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，
∴ QH QB ，∴QH= 8 x，y= 1 BP• QH= 1（10﹣x）• 8 x=﹣ 4 x2+8x（0＜x≤3），
AC AB
52
2
55
②当点 Q 在边 CA 上运动时，过点 Q 作 QH′⊥AB 于 H′，
∵AP=x， ∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，
的长，即可确定出 N 的坐标；当四边形 ADM′N′为平行四边形，可得三角形 ADQ 全等 于三角形 N′M′P，M′P=DQ= ，N′P=AQ=3，将 y=﹣ 代入得：﹣ =﹣ x2+3x，求
出 x 的值，确定出 OP 的长，由 OP+PN′求出 ON′的长即可确定出 N′坐标．
解 解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3，得：E（2，3），
⑶ 除点 C 外，在坐标轴上是否存在点 M ，使得 MAB 是直角三角 形若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由.
-3-
（2011 年昆明）25、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4： 3，点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从点 B 出发 沿 B→C→A 方向向点 A 运动，速度为 2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个 运动点也随之停止运动．
答：
设抛物线解析式为 y=a（x﹣2）2+3，
将 A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即 a=﹣ ，
则抛物线解析式为 y=﹣ （x﹣2）2+3=﹣ x2+3x；
（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b（k≠0），
- 10 -
将 A（4，0）与 C（0，3）代入得：
，
解得：
，
故直线 AC 解析式为 y=﹣ x+3，
与抛物线解析式联立得：
，
解得：
或
，
则点 D 坐标为（1， ）；
（3）存在，分两种情况考虑： ①当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示：
四边形 ADMN 为平行四边形，DM∥AN，DM=AN， 由对称性得到 M（3， ），即 DM=2，故 AN=2，
∴N1（2，0），N2（6，0）； ②当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示：
n(11 n) 2 7 ，
3
9
n1
11 6
65
, n2
11 6
65
，此时，
M (11 65 , 0) 或 M (11 65 , 0)
6
6
Ⅱ .在 RtMAB 中，若 ABM Rt ，如图，设
M (t, 0) ，同样过 B 作 BD垂直 x 于点 D ，则在 RtPBM
中，有
BD2 MD DP
（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A 与 C 坐标代入求出 k 与 b 的值，确定出直 线 AC 解析式，与抛物线解析式联立即可求出 D 的坐标；
（3）存在，分两种情况考虑：如图所示，当四边形 ADMN 为平行四边形时，
DM∥AN，DM=AN，由对称性得到 M（3， ），即 DM=2，故 AN=2，根据 OA+AN 求出 ON
（2012 年昆明）23.
[答案] ⑴ y 1 x2 3 x 2 ； ⑵ C( 2 , 0) ；
22
3
⑶ (0, 7) 、或 (11 65 , 0) 、或 (11 65 , 0) 、或 (92 , 0)
9
6
6
27
⑴ 如图，因为一次函数
y
1 3
x
2交
y
轴于点
A
，所以，
xA
0
，
yA 2Fra Baidu bibliotek，即 A(0, 2) .
（1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平 行四边形若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
考 二次函数综合题． 点：
专 综合题． 题：
分 （1）由 OA 的长度确定出 A 的坐标，再利用对称性得到顶点坐标，设出抛物线的 析： 顶点形式 y=a（x﹣2）2+3，将 A 的坐标代入求出 a 的值，即可确定出抛物线解析式；
（1）求 AC、BC 的长； （2）设点 P 的运动时间为 x（秒），△PBQ 的面积为 y（cm2），当△PBQ 存 在时，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）当点 Q 在 CA 上运动，使 PQ⊥AB 时，以点 B、P、Q 为定点的三角形与 △ABC 是否相似，请说明理由； （4）当 x=5 秒时，在直线 PQ 上是否存在一点 M，使△BCM 得周长最小，若 存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
-6-
（云南省 2013 年）23．（9 分）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，下底 AB 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，直线 AC 与 y 轴交于点 E（0，1），点 C 的坐标为（2，3）．
（1）求 A、D 两点的坐标； （2）求经过 A、D、C 三点的抛物线的函数关系式； （3）在 y 轴上是否在点 P，使△ACP 是等腰三角形若存在，请求出满足条件的所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
- 13 -
(7)2 (11 t)(6 11) t 92 ，此时， M (92 , 0)
93
3
27
27
综上所述，除点 C 外，在坐标轴上还存在点 M ，使得 MAB 是直
角三角形，满足条件的点 M 的坐标是：(0, 7) 、或 (11 65 , 0) 、或 (11 65 , 0) 、
9
6
过点 D 作 DQ⊥x 轴于点 Q，过点 M 作 MP⊥x 轴于点 P，可得△ADQ≌△NMP，
- 11 -
∴MP=DQ= ，NP=AQ=3，
将 yM=﹣ 代入抛物线解析式得：﹣ =﹣ x2+3x，
解得：xM=2﹣ 或 xM=2+ ， ∴xN=xM﹣3=﹣ ﹣1 或 ﹣1， ∴N3（﹣ ﹣1，0），N4（ ﹣1，0）． 综上所述，满足条件的点 N 有四个：N（1 2，0），N（2 6，0），N（3 ﹣ ﹣1，0）， N4（ ﹣1，0）． 点 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式， 评： 一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，以及坐标与图形性质，是一道多 知识点的探究型试题．
-2-
（2012 年昆明） 23. （本小题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线
y 1 x 2 交 x 轴于点 P ，交 y 轴于点 A ，抛物线 y 1 x2 bx c 的图象过
3
2
点 E(1,0) ，并与直线相交于 A 、 B 两点.
⑴ 求抛物线的解析式（关系式）； ⑵ 过点 A 作 AC AB 交 x 轴于点 C ，求点 C 的坐标；
6
或 (92 , 0) . 27 （2011 年昆明）25
答案：解：（1）设 AC=4x，BC=3x，在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点 Q 在边 BC 上运动时，过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，
-7-
（云南省 2014 年）23.（9 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，矩
形 ABCO 的顶点分别为 A（3,0）、B（3,4）、C（0,4），点 D 在 y 轴上，且点 D
的坐标为（0，-5），点 P 是直线 AC 上的一个动点。
（1）当点 P 运动到线段 AC 的中点时，求直线 DP 的解析式；
交 x 轴于点 P ，所以， yP 0 ， xP 6 ，即
P(6, 0) .
由 A(0, 2) 、 E(1,0) 是 抛 物 线
y 1 x2 bx c 的图象上的点， 2
C
2 1 b 2
C
0
b C
3 2 2
所以，抛物线的解析式是： y 1 x2 3 x 2 22
⑵ 如图， AC AB(P) 、 OA OP ∴ 在 RtCAP 中， - 12 -
-4-
（2010 年昆明）25．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线经过 O（0， 0）、A（4，0）、B（3， 2 3 ）三点.
3 （1）求此抛物线的解析式； （2）以 OA 的中点 M 为圆心，OM 长为半径作⊙M，在（1）中的抛物 线上是否存在这样的点 P，过点 P 作⊙M 的切线 l ，且 l 与 x 轴的夹角 为 30°，若存在 ，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注 意 ：本题中的 结果可保留根号）
则有，
m yB(B点的纵坐标)
M (0, 7) 9
y y
1 3 1 2
x2 x2 3
2
x
2
B(11 3
,
7 9
)
m 7 ， 此 时 9
ⅱ.若交点在 x 上（如图），设 M (n,0) ，
此时过 B 作 BD垂直 x 于点 D ，则有 AOM MDB ，于是：
AO OM OM MD AO DB MD DB
与动圆 P 分别相切于点 E、F。请探求在动圆 P 中，是否存在面积最小的四边形
DEPF 若存在，请求出最小面积 S 的值；若不存在，请说 明理由。
y
C
4
B
2
-1 O -2
2A 4
x
F
P
-4
E
D
-8-
答案篇 (2014 年昆明) 23.
-9-
（2013 年昆明）23
23．（9 分）（2013• 昆明）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的 正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC 边上，且抛物线经 过 O，A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D．
题目篇
(2014 年昆明) 23. （本小题 9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx 3(a 0) 与 x 轴交于点 A（ 2 ，0）、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C。
（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时 点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度向 C 点运动。其中一个点到达终点 时，另一个点也停止运动。当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最多 面积是多少 （3）当 △ PBQ 的 面 积 最 大 时 ， 在 BC 下 方 的 抛 物 线 上 存 在 点 K ， 使 S△CBK：S△PBQ 5 : 2 ，求 K 点坐标。
y
A
P
O
C
B x
Q
-1-
（2013 年昆明）23.（本小题 9 分）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xoy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的 顶点在 BC 边上，且抛物线经过 O、A 两点，直线 AC 交抛物线于点 D。
（1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，是否存在以点 A、D、M、N 为顶点 的四边形是平行四边形若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。