多目标规划pareto解集
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每一个决策变量取什么值，原问题可 以得到最满意的解决 ？
多目标规划问题的求解不能只追求一 个目标的最优化（最大或最小），而不顾 其他目标。
10
Cost f2
Pareto set
Cost f1
以max问题为例 图6.1.1 多目标规划的劣解与
非劣解
在图6.1.1中，就方案①和② 来说，①的 f2 目标值比②大， 但其 f1 目标值比②小，因此无法 确定这两个方案的优与劣。在各 个方案之间，显然：③比②好， ④比①好，⑦比③好，⑤比④好。 而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无 法确定优劣，而且又没有比它们 更好的其他方案，所以它们就被 称之为多目标规划问题的非劣解 或有效解，其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣 解集。
max(m ZinA)X （6.1.5）
BXb
（6.1.6）
式中：X为n维决策变量向量； A为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵； B为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
9
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意 味着需要做出如下的复合选择：
每一个目标函数取什么值，原问题可 以得到最满意的解决？
11
➢目标规划方法
➢多目标规划应用实例
4
第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
5
一、多目标规划及其非劣解
任何多目标规划问题，都由两个基 本部分组成：
(1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数 学模型一般地描写为如下形式
6
max(min)
大家好
1
多目标规划Pareto解集
2
在机械设计和控制器设计中，常常需 要考虑多个目标，如性能指标、经济性指标、 物理可实现性目标等等。为了满足这类问题 研究之需要，本章拟结合有关实例，对多 目标规划方法及机电系统中的应用问题作 一些简单地介绍。
3
本章主要内容
➢多目标规划及其非劣解
➢多目标规划求解技术简介
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min) f2 (
X
)
max(min) fk ( X )
1(X )
g1
(X
)
2
(X
)
G
g2
m (X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中： X[x1,x2, ,xn]T，为决策变量向量。
7
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩wk.baidu.com
写， 即
max(Z miFn(X ))
（6.1.3）
(X)G
（6.1.4）
式中： ZF(X)是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ( X ) 等是m维函数向量；
G是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
8
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
多目标规划问题的求解不能只追求一 个目标的最优化（最大或最小），而不顾 其他目标。
10
Cost f2
Pareto set
Cost f1
以max问题为例 图6.1.1 多目标规划的劣解与
非劣解
在图6.1.1中，就方案①和② 来说，①的 f2 目标值比②大， 但其 f1 目标值比②小，因此无法 确定这两个方案的优与劣。在各 个方案之间，显然：③比②好， ④比①好，⑦比③好，⑤比④好。 而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无 法确定优劣，而且又没有比它们 更好的其他方案，所以它们就被 称之为多目标规划问题的非劣解 或有效解，其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣 解集。
max(m ZinA)X （6.1.5）
BXb
（6.1.6）
式中：X为n维决策变量向量； A为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵； B为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵； b 为m维的向量，约束向量。
9
二、多目标规划的非劣解
对于上述多目标规划问题，求解就意 味着需要做出如下的复合选择：
每一个目标函数取什么值，原问题可 以得到最满意的解决？
11
➢目标规划方法
➢多目标规划应用实例
4
第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
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一、多目标规划及其非劣解
任何多目标规划问题，都由两个基 本部分组成：
(1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数 学模型一般地描写为如下形式
6
max(min)
大家好
1
多目标规划Pareto解集
2
在机械设计和控制器设计中，常常需 要考虑多个目标，如性能指标、经济性指标、 物理可实现性目标等等。为了满足这类问题 研究之需要，本章拟结合有关实例，对多 目标规划方法及机电系统中的应用问题作 一些简单地介绍。
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本章主要内容
➢多目标规划及其非劣解
➢多目标规划求解技术简介
f1
(
X
)
Z
F(X
)
max(min) f2 (
X
)
max(min) fk ( X )
1(X )
g1
(X
)
2
(X
)
G
g2
m (X )
gm
（6.1.1） （6.1.2）
式中： X[x1,x2, ,xn]T，为决策变量向量。
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如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩wk.baidu.com
写， 即
max(Z miFn(X ))
（6.1.3）
(X)G
（6.1.4）
式中： ZF(X)是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ( X ) 等是m维函数向量；
G是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
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对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示