保险公司赔付及破产的随机模拟与分析

孙立娟顾岚

摘自“数理统计与管理”

摘要孙立娟、顾岚等.保险公司赔付及破产的随机模拟与分析.

本文研究定期人寿保险的承保理赔及破产模型，其中保单到达和索赔出现服从相互独立的poisson过程。对此模型给出了破产概率的一个具体上界，通过随机模拟生成了持有保单数和理赔过程的样本轨道，分析研究破产概率与准备金和理赔额之间的关系。

中图分类号：o212f840文献标识码：a

stochastic simulation and analysis of claims and ruin

for an lnsurance company

sun li－juangulan

abstractin this paper we consider a model for the term insurance of a life insurance company,wher e the arrival of term policies and the occurence of claims follow two independent poisson processe s.for this model,a concrete upper bound for the ruin probability is obtained.by stochastic simulatio n we show how varies the nurmber of holding policies and illustrante the relationship between the ruin probability,the premium reserve and claim amounts.

key words：poisson process,term policy,stochastic simulation， ruin probability.

在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要的风险因素。为了保障保险公司财务经营的稳定及减少损失波动，保持足够多的保单数目是必不可少的。保险公司必须统筹安排：应备有多少准备金用于赔付，应将多少资金注入投资，以增加收益。保险公司最基本的经营目标就是要提高保险公司的偿付能力，确保稳定运作，因此，科学地预测保险公司未来的保费收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司的破产概率，等等，都是十分重要的课题。我国的保险事业起步较晚，保险业可能采用的金融投资工具有限，投资增值能力也较差，因此更加需要加强保险公司的经营管理。保险公司一方面应采取各种措施增加保单数额，稳定风险波动，另一方面合理地厘定保险费率，科学测算未来的风险和收益，这已经成为我国保险业必不可少的稳定经营手段。本文试图对保险公司未来持有保单数及破产概率的估算进行研究，并通过对保险公司的运行进行随机模拟，以期作出定量分析。

§1.概率模型的引人

本文以定期人寿保险为例进行研究。保险公司在经营中将不断出现下列事件：

1.客户购买保单。

2.发生理赔。

3.保单到期。

4.发生退保。

以上事件直接决定了保险公司持有保单的数目。为了简化模型，我们考虑保险公司经营一种定期人寿保单。由于国内对于退保有一定时间限制，且返回的保金量也较少，可以认为中途退保的可能性很小。因此，本文暂不考虑退保的发生。事实上，如航空保险等险种根本不可能中途退保。对于一般的保险产品，若需要考虑退保，可以依照本文的方法类似处理。在本文中，我们把发生一次客户购买保单、一次理赔或一次保单到期均称为发生一次系统事件，而且认为在同一时刻几乎不可能有两个或两个以上的系统事件发生。

假定人寿保单为t年期。设保险公司在未来时刻t持有保单数为y(t)，客户购买保单时，保险合同生效，y(t)的值将增加1；当理赔或保单到期发生时，保险责任中止，y(t)的值将减少1。理赔发生时需予以赔付，而保单到期不需支付。因此，保险公司在每一时刻t所持有的

保单数目｛y(t),t0｝是一个连续时间离散状态的随机过程。设直至时刻t，保险公司售出的保单总数为m(t)，发生理赔的保单数为n(t)，到期的保单数为w(t)，而任意时刻购买保单与发生理赔是两个相互独立的事件，因此，可视｛m(t),t0｝｛n(t),t0｝为相互独立的随机过程。｛m(t),t0｝可以理解为保单到达过程，根据历史资料可得到两个保单到达之间的平均时间间隔，记为1／λ；｛n(t),0｝可理解为理赔发生过程，根据历史资料同样可以得到两次理赔之间的平均时间间隔，记为1／μ。这些时间间隔之间又是相互独立的。假设在时刻t=0有：m(0)=0，n(0)=0，即在开始考察时，没有客户购买保单，也没有理赔发生。由上述可知，｛m(t),t0｝,｛n(t)t,0｝是两个相互独立的poisson过程，即对任意s＞0

(1.1)

而且无论从直观上或是从经验上都应有

(1.2)

也就是：保单到达的速率应远比理赔发生的速率大，否则，这种保险产品就没有经营价值。

§2.承保赔付模型

假设在初始时刻t=0休险公司持有的保单数为0(即y(0)=0)，易知保险公司刚刚开始经营t 年期保险产品时持有的保单数应是

y(t)=m(t)－n(t)t＜t

(2.1)

在这段时间，不可能发生保单到期，保单到达过程｛m(t),t≥0｝和理赔发生过程｛n((t),t≥0｝是相互独立的poisson过程，因此｛y(t),0≤t≤t｝是平稳增量过程。

由｛y(t)｝的定义(2.1)式可得

(2.2)

并有ey(t)=e［m(t)－n(t)］=(λ－μ)t

(2.3)

由于λ＞μ，故e［y(t)］是时间t的增函数，即当0?t?t时，保险公司持有的期望保单数是一个递增过程。

当t＞t时，保单到达过程｛m(t)｝仍是速率为λ的poisson流，这时，保单到期成为可能发生的系统事件，如无理赔发生，保单到期过程｛w(t)｝只是保单到达过程｛m(t)｝的重现，但由于理赔事件出现，使得保单到期速率小于λ。然而由于理赔发生的速率远远小于保单到