大学高等数学经典课件10-630页PPT文档

子 例1 利用高斯公式计算曲面积分:
案
z
(xy)dxd(yyz)xdydz
其中Σ为柱面x2+y2=1及平面
武 汉
z=0,z=3所围成的空间闭区域
科
技 学
Ω的整个边界曲面的外侧面.
院 数
解:因为由已知:P=(y-z)x, Q=0,
理
系
R=x-y
o
y
x
高 等 数
Pyz, Q0 R0
x
y z
学
电 子
Ò(xy)dxdy(yz)xdydz[(yz)00]dv
)
以上三式相加,有
R (x,y,z)dx d { R [y x,y,z2(x,y) ]R [x,y,z1 (x,y)d ]} xd
武
D x y
汉
科 技 学 院 数
故(3)式成立,有
R zdvR(x,y,z)dxdy
理
系
高
等
对于(1)与(2)式,同样可得:
数 学
如果穿过Ω内部,且平行于x轴的直线与Ω的边界曲面
学
1 1
电
子
,cos cos 0,cos 1
案
2
( x 2 co y 2 s co z 2 s co ) d s s h 4 h 4 h 4
2
2
所以
武
汉
科
技
学 院
(x2cosy2cosz2cos)dsz2dsh2dxdyh4
数
1
1
Dxy
理
系
高 等
二. 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
高
等
数
学
此时,Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cosα,cosβ
电 子
,cosγ是Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦,以
案
上二式称为高斯公式.注意: 高斯公式表达了空间
区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之
间的关系.证明:现在我们只要证第一式即可,因为
一,二式右端相等,把第一式分为三式:
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
电
子 部分的下侧,cosα,cosβ,cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向
案 量的方向余弦.
解:加辅助面Σ1:z = h(x2+y2≤h2) 的上侧面
Σ+Σ1构成一个封闭曲面,才能应用高斯公式.
武
记Σ+Σ1围成的空间闭区域为Ω.
z
汉 科
用高斯公式:
技 学
y
院
x
数
理
系
高 等
Px2, Qy2 Rz2
数
学 电
P 2x, Q 2 y R 2z
子
x
y
z
案
Ò (x2cosy2cosz2cos)ds2(xyz)dv
1
武 汉 科 技
h
h
h
2 dxdy (xyz)dz2 dxdy[ (xy)dz zdz]
x2y2
x2y2
x2y2
Dxy
Dxy
学
院
数
理
系
高
等 数
h
h
h
2d x d y ( x y z ) d z 2d x d y [ ( x y ) d z z d z ]
高 等 数
(1) P x d
vP
d
yd
z
Q
学 电 子 案
( 2 )
y
dv
Qdzdx
(3)
R dv z
Rdxdy
z
现在证(3)
武 汉
R
z
dvRdxdy
x
科
技
学
院
数
理
系
Σ2:z=z2(x,y)
Σ3 Ω
Σ1:z=z1(x,y) y
Dxy
高
等 数
条件:
学 电
(1)设闭区域Ω在xoy平面上的投影区域为Dxy:
数
理
系
高 则(3)式左边:
等 数 学
Rdv {z2(x,y)Rd}zdxdy
z
z Dxy z1(x,y)
z
电 子 案
{R[x, y, z2(x, y)]R[x, y, z1(x, y)]}dxdy
Dxy
(3)式右边: (简写) 1 2 3
x
Σ2:z=z2(x,y)
Σ3 Ω
Σ1:z=z1(x,y) y
x 2 y 2
x 2 y 2
x 2 y 2
D x y
D x y
学
电 子
(其中Dxy{(x,y)|x2y2h2})
(注意到dxdy h (xy)dz0) x2y2
案
Dxy
h
2 dxdy[
zdz (h2 x2 y2)dxdy1h4
x2y2
Dxy
Dxy
2
武 汉
所以
科
技
学
院
数
理
系
高
等
数
而 Ò (简 写 )
电
Σ的交点恰好为两个.有:
子 案
P xdvP(x,y,z)dydz成立
如果穿过Ω内部,且平行于y轴的直线与Ω的边界曲面Σ
的交点恰好为两个.有:
武
汉
科 技 学 院 数 理
Q ydvQ(x,y,z)dzdx成立
系
高
等
(1),(2),(3)式两端分别相加,即:
数
学 电 子
( P x Q y R z)d vP d y Qdd zR zd dxxdy
案
即高斯公式
2. 对Ω不作限制时高斯公式仍然成立:
武 汉
即穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Ω的边界
科
技 学
曲面交点多于两个,可引辅助面把Ω分成有限个闭区域,
院 数
使得每个闭区域满足条件
理
系
高 等
并可见沿辅助面相反两侧面的两个曲面积分
数 的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消,
学 电
因而高斯公式仍然成立.
子
(2)设穿过Ω内部且平行于z轴的直线与Ω的案Biblioteka 边界曲面Σ的交点恰好是两个;
(3)Σ=Σ1+ Σ2+ Σ3Σ1方程 z=z1(x,y)
Σ2方程 z=z2(x,y) z1(x,y)≤z2(x,y)
武
(4) Σ1取下侧, Σ2取上侧面, Σ3是以Dxy
汉 科
的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面
技
学 院
上的一部分,取外侧面.
案
2
1
3
(r sin z)rdrd dz 0 d 0 rdr0 (r sin z)dz
武
2d1r[3rsin9]dr 2[sin9]d9
0
0
2
0
4
2
汉
科
技 学
柱面坐
院 数
标计算
理
系
高 例2 利用高斯公式计算曲面积分
等 数
(x2co sy2co sz2co )d ss
学
其中Σ为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h>0)之间的
学
院 数
空间二维单连通区域:如果G内任一闭曲线总可以张一
Dxy
武 汉
R (x,y,z)dx dyR [x,y,z1(x,y)d ] xdy
科
1
D xy
技
学
院 数
R(x, y, z)dxdyR[x, y, z2(x, y)]dxdy
理
2
Dxy
系
高
等
数
(曲面积分的计算
)
学
电 子
R ( x , y , z ) dxdy 0
3
案
(因为 3 在 xoy 平面上的投影为零
数 现在我们研究在怎样的条件下,曲面积分
学 电
PdydQz dzdRxdx.dy
子
与曲面Σ无关而取决于Σ的边界曲线?这问题
案
相当于在怎样
的条件下,沿任意闭曲面的曲面积分为零?这问题可用 高斯公式来解决.
先介绍空间二维单连通区域及一维单连通区域
武
的概念.对空间区域G
汉
科 技
如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是