【数学】2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件(新人教B版必修1)

第三步 取区间［a1 ,b1 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a1 + （b1 a1） （a1 b1） 2 2
计算f ( x1 )和f (a1），并判断 （）如果f ( x1 ) 0，则x1就是f ( x)的零点，计算终止; 1 (2)如果f (a1 ) f (x1）<0,则零点位于区间[a1 , x1 ]中，令 a2 a1，b2 x1； （3）如果f (a1 ) f (x1）>0,则零点位于区间[x1 , b1 ]中，令 a2 x1，b2 b1；
计算f ( x0 )和f (a0），并判断 （）如果f ( x0 ) 0，则x0就是f ( x)的零点，计算终止; 1 (2)如果f ( x0 ) f (a0）<0,则零点位于区间[a0 , x0 ]中，令 a1 a0，b1 x0； （3）如果f ( x0 ) f (a0）>0,则零点位于区间[x0 , b0 ]中，令 a1 x0，b1 b0；
复习：
函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
方程f ( x) 0有实数根 函数y f ( x)的图象与x轴有交点 函数y f ( x)有零点
探索新授：
问题1．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0
(2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0
通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
问题3．如何描述二分法？
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) · f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所 在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近 零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的 方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解， 但此法不能运用于解另外两个方程.
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如果函数y f ( x)在一个区间[a,b]上的图像不间断，并且 在它的两个端点处的函数值异号，即f (a) f (b) 0, 则这个函数 在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0 (a, b), 使f ( x0 ) 零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点
1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证 f (a)•f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b). 2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b) ab 的中点 x
1
2
3．计算f (x1)： (1)若f (x1)＝0，则x0＝x1； (2)若f (a)•f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1)); (3)若f (a)•f(x1)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)). 4．判断两个区间端点按照给定的精确度所取 得近似值是否相同.相同时这个近似值就是所求 的近似零点
用二分法求方程的近似解，实质上就是通 过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步 缩小零点所在的区间。
数学运用(应用数学)
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1） 怎样找到它的解所在的区间呢？ 在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象（如图） 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确，可得x0∈(1, 2) 能否不画图确定根所在的区间？
0
x
0
x
0
x
0
x
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？ 1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断． 2. y=f (x)满足 f (a) · (b)<0，则在(a,b)内必有零点. f
回顾反思(理解数学)
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15 个接点，现在某接点发生故障，需及时修 理，为了尽快断定故障发生点，一般至少 需要检查几个接点？ 6
继续实施上述步骤，直到区间[a n ,bn ],函数的零点 总位于区间[a n ,bn ]上，当a n 和bn 按照给定的精确度所取得 近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似 零点，计算终止.这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度.
问题2．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的 一个正的近似解（精确到0.1）?
画出y=x2-2x-1的图象(如图) y
y=x2-2x-1
由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内， 另一个根x2在区间(-1,0)内．
x
-1 0 1 2 3
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们
发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间(2,3)上有惟一解.
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
+
3
2.25
+ 2.5 + 2.5
+
y
3
+
y=x2-2x-1
3
+
x
-1 0 1 2 3
+ 2.25 2.375 2.5
- -
3
+
2.25 2
百度文库2.5
- -
+ +
2
2.5
3
2.25 2.375 2.5 2.4375
3
由于2.375与2.4375的近似值都为 由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.375,1.5)
由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得： x0∈(1.375,1.4375) ∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
问题5：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 g(x)=h(x))近似解的基本步骤？
0.如果函数图像通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号
y
a x0 b O x1 x2 x
如图，x0、x 2为变号零点，x1为不变号零点.
已知函数y f ( x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点 x 0的近似值x，使它满足给定的精确度.
步骤： 第一步 在Ｄ内取一个闭区间［a 0 ,b0 ],使f(a 0 )与f（b0） 异号，即f(a 0 ) f（b0）<0.零点位于区间［a 0 ,b0 ]中. 第二步 取区间［a 0 ,b0 ]的中点，则此中点对应的坐标为 1 1 x 0 =a 0 + （b 0 a 0） （a 0 b 0） 2 2
2 3 4 5
1
7 8 9 10
11 12 13 14 15
课堂小结
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法． 2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想． 3.进一步认识数学来源于生活，又应用于 生活． 4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼 近的思想.
； ；
练习1： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
y
1
y=x3
有惟一解x0∈(0,1)
0 1
x
y=1-3x
练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求其零点的是 （C ） y y y y
解：设函数 f (x)=2x+x-4 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0 ∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点， ∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.
由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得：x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得：x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.25,1.5)
作业：
P74 A组1，2， 习题2-4 A组 7
练习 B组1，2
数离形时少直观，形离数时难入微！
1．简述上述求方程近似解的过程 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 x1∈(2,3) ∵ f(2)<0, f(3)>0 ∵f(2.5)=0.25>0 x1∈(2,2.5) ∴f(2)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.25)= -0.4375<0 x1∈(2.25,2.5) ∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.375)= -0.2351<0 x1∈(2.375,2.5) ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0 ∵ f(2.4375)= 0.105>0 x1∈(2.375,2.4375) ∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 ∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4