投资组合分析

三、模型假设
1，投资期按一年为一周期。
2
2，资金全部用于投资或存在银行。 3，投资期间资金不做其他交易，收益在年终实现。 4，总体风险由最大风险来刻画。 5，风险损失率指投资到期后，如果风险发生，损失占投资额的百分比
四、定义与符号说明
1，M 投资的全部资金 2，Ai 投资者选择的第 i 种资产 3，ri 购买资产第 Ai 种资产的平均收益率（r0 银行利率） 4，qi 购买资产第 Ai 种资产的风险损失率 5，xi 投资者选择的第 i 种资产占总资产的比例 6， i 为第 Ai 种资产在时期内的平均收益率 7，g 为风险承受常数
五、模型建立和求解
问题一，线性规划求最优解模型，实现预期投资的总收益最大。
Max Mxi ri
i 1
5
Mx1 1000 Mx 2 1000 Mx3 1000 Mx1 Mx 4 2000 Mx5 2500 5 xi 1 i 1 xi 0, i 1, 2,..5
m i 1
有两个目标函数，所以有相应的两个权系数，可以采用 算法，（ 称作乐观程度），将 目标规划转化为
Max ( ( x0 r0 xi ri ) (1 ) xi qi )
i 1 n
模型三 考虑到模型目标 Q 难以处理， 对模型二进行优化， 引进参量 g 表示投资者的风险承受能力， 所以要求 xi qi g ，这样使得投资分散，风险也就相应减少，得到对风险的一种量化方式。对 于 Q 的目标函数由原来的 Q Max ( xi qi ) 变为约束条件 xi qi g
0.3801 0.5068 0.5467 0.4561 0.2748 0.0935 0 0 0 0 0 0
从表中数据可以看出， R f ( g ) ，g 越大，R 就越大，即风险大，收益大，但是当 g 增大 到一定地步时，R 就趋于不变，在该模型约束中也是符合实际的。 通过对上述数据的分析， 我们不妨把投资者进行分类分为三个类型： 保守型， 温和型， 冒险性， 由上表可以看出当资金分散时，投资者所承担的风险也就越小，这与题意是一致的，而冒险性 投资者会出现投资集中地情况，而保守者则尽量的分散投资。 我们又对一系列坐标点（g,R)，进行多项式拟合，六次拟合状况如下图
投资项
R /%
x0
x1
x2
x3
x4
g /%
4
0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 1.00 2.00 10.00
6.0155 6.6873 7.1713 7.3730 7.7764 8.1800 8.5722 8.9531 9.1435 9.1435 9.1435 9.1435
y ''
做一个五年计划，可以以上面一年为一周期，一年的最优组合连续实现 5 年，最终得到最 优解，最大收益 9.1435%/年
六．模型结果分析（与检验）
（1）拟合状况对最优方案的影响 由于是以拟合曲线在一定范围内的极大值点作为最优解。但考虑到实际中拟合曲线，存在 一定误差，因而我们所选取的方案不一定是最好的方案，但是肯定在最好的方案附近。为解决 这个问题，可以缩小步长法，将各个点的坐标用线段连起来，通过分析得到各线段，找到斜率 变化相对剧烈的区间，进一步缩小范围，在该区间内进行二次拟合，确定精确解。得到一般情 况下的最好方案。 （2）灵敏度分析 在我们所建立的模型中， 假定的 ri , qi 都是常数， 但实际中这些数据往往是估测值和预测值， 市场和人为因素对这类参数有一定的影响，当 ri , qi 有微小的变化时，目标函数的变化是否很大 我们需要进行灵敏度分析。 不妨在 g=0.60 时，使 ri , qi 有微小的增长，求出目标函数 f 的变化幅度并列表分析 qi 。
姓
名：
张勇 数学科学学院
职
称： 副教授
所在单位：
电子科技大学 数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学学院制表
2016 年 6 月 13 日填
课 程 设 计 负 责
姓名 张伟豪 黎颖 吴明君 主要工作 建模，写作，排版 编程，排版 写作，排版 备注
完成时间： （以下由老师填写）
2016.07.07
论 文 评 阅
评分项 问题分析 基本假设 模型建立 模型求解 模型结果 论文叙述 加分因素 总分 评语： 评阅教师签名 （盖章）： 得分
5
单位风险所获得的利益，有注意到 f ' ( g ) 急速减小后将保持相对稳定，我们只需要找到在区间 [ a, b] 中曲率最大的 g 即 f ( g ) 函数线最弯曲的点（拐点）对应投资方案最佳投资方案。 即对应曲率公式 K 要求函数 K 取最大值对应的点，也就最佳方案对应的点。 2 (1 y ' ) 3 / 2 在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快.在这一点右边，风险增加很大时，利润 增长很缓慢， 所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说， 应该选择曲线的拐点作为最优 投资组合，由曲率求解得此点：g2=0.7997，R=9.1435 g1=0.2910;g2=0.7997.g1 属于保守型最优解；g2 属于冒险型最优解。 该解符合生活实际，也是人们首选的投资的方案。 x0 / % x3 / % 投资项 R / % x1 / % x2 / % x4 / % 目 g /% 0.2910 0.7997 7.337 9.1435 0 0 0 0 19.40 50 33.36 50 47.24 0
关键词
线性规划，多目标决策，拟合，乐观程度
1
一．问题重述
某公司有 6 千万元用于投资，投资方式主要有储蓄，债券，股票，若干理财产品和项目投 资。储蓄利率如下表 3 个月（%） 6 个月 一年 二年 三年 五年 2.60 2.80 3.00 3.75 4.25 4.75 债卷的年收益率为 4%，股票的平均收益 12%，风险较大；理财产品这里指的是百度百赚和 余额宝等。要求股票投资额不得超过总额的 50%不得少于总额的 10%，理财产品投资额不得低 于总资金 15%。公司给出去年在 5 个项目 A1-A5 的投资月收益率，分析表中数据来确定公司的 下一步投资计划。由于市场受限，对项目 A1，A2，A3 的每项投资不得超过 1 千万元，对 A1，A4 投资总额不得超过 2 千万元，对 A5 投资不得超过 2,5 千万元。 建立模型，解决下面俩问题 1.做一个一年投资规划，使预期的总期望收益尽可能最大。 2.做一个五年投资计划，并分析上述投资方案的风险，问是否可以对上述模型进行调整， 或者建立一个新的模型，使投资方案更合理。 投 资 项 目 / 储蓄 A0 年 收益率/% 3.00 风险损失率 0 /% 债券 A1 4.00 X 股票 A2 12.00 Y 百度百赚 A3 余额宝 A4 6.287 0.8723 6.1629 0.3946
得到 R-g 的函数关系式为 由 R 35.1528g 6 225.6339 g 5 487.6946 g 4 487.2467 g 3 245,801g 2 64 .4496g 0.4612 ' 图可知，尽管当 g 增大时，R 也同时增大，但其增长的速度也即 f ( g ) 在一定区间 [ a, b] 内迅速 减少。 我们认为在 f ' ( g ) 发生相对剧烈变化的区间投资是合理的，因为在现实生活中，正常人不 会冒相对较多的风险，去求取相对较小的利益，这就指的是 g b 的投资区域。同理也不会害 怕相对较小的风险而抛弃相对较大的利益，这里指区间 g a 。在这里， f ' ( g ) 可以理解为每个
百度百赚， 余额宝在网上找到资料数据， 用模型一均值方差得到年平均收益率和风险损失 率，但对于股票和债券的风险损失率只能靠赋值解决。
二．问题分析
问题一是首先利用去年投资项目的月收益率，通过计算分析，数据处理，得到年收益率最 终用来线性规划的一种最优化问题。 问题二 令储蓄为 A0，债券为 A1，股票为 A2，百度百赚为 A3，余额宝为 A4 当引入风险损失率时，我需要考虑两点要求： 1，在风险一定情况下，取得最大利益； 2，在收益一定的情况下，我们所承担的风险损失最小。 不同的投资者对利益和风险侧重点不同，但在一定范围内都是正常的， 所以我们要求选择 一种尽可能好的方案——风险尽量小，收益尽量大。 储蓄的年收益率与储蓄时间有关， 风险为零， 其他投资项目虽然有一定风险但收益可能大于银 行利率，我们建立一个模型，这个模型对一般投资者都适用，并根据他们的风险承受能力的不 同，可以提出多个适用于各种投资人的方案。风险指标用 g 表示.
最后通过lingo求解此线性规划，可以看出投资年平均收益率为0.1538906。
问题二 模型一
先对一年为一周期进行模型的建立。 用均值方差模型实现风险指标的引入， ， 投资越分散， 总的风险越小，总体风险可用投资中 Ai 的最大风险来衡量。
ri E ( i ) qi D ( i )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.3479 0.1305 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.1000 0.1333 0.1667 0.2000 0.2667 0.3333 0.4000 0.4667 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
0.1720 0.2293 0.2866 0.3439 0.4586 0.5732 0.6000 0.5333 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000
3
这个模型的前提是需要大量的数据， 我们需要自己查阅资料寻找投资的这几个项目年平均 收益率，进而刻画求出他的风险损失率。
模型二 多目标决策模型
MaxR x0r0 x iri
n i 1
Q Max( xi qi )
1i n
将多目标规划转化为单目标规划
U ( x ) i f i ( x ) 若有 m 个目标 f i ( x ) ， 分别赋予权系数 （i=1,2,,,m)然后做新的目标函数 i
投资组合问题
摘要
投资组合问题是应用相当广泛，本文拟设计一种投资组合方案，即用该公司给定的资金 M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小. 本文从单目标决策理论建立最优解模型，利用 lingo 设计算法求得在一年投资规划中，投 资年平均收益率的期望值为 0.1538906。在五年投资规划中考虑风险与收益间的平衡，以多目 标决策的理论与方法建立风险收益相关关系模型，并通过设定风险承受系数， 使之简化为单目 标决策问题，利用 lingo 求解分析得出风险与收益的关系——收益越大，风险越大。并设计算 y '' 法拟合出收益与风险的函数关系式。 在求解最佳风险收益值时， 利用曲率公式 K 设 2 (1 y ' ) 3 / 2 计算法求得最大曲率半径时最佳风险与收益值为：g2=0.7997，R=9.1435 并由此计算得到净收 益尽可能大，风险尽可能小的最优方案。
数学建模课程设计报告表
设计题目： 论文名称： 投资组合问题 投资组合优化 小组成员
姓名 张伟豪 黎 颖 学号 2014040201016 2014040206003 2014040204033 专业 数学物理基础科学 数学物理基础科学 数学物理基础科学 所在学院 物理电子 物理电子 物理电子
吴明君
指导教师
1 i n
简化模型为
MaxR x0 r0 xi ri
i 1 n
xi qi g
x
i 0
4
i
1
0 .1 x 2 0 .5 0.15 x3 x4 1 xi 0
这个模型是一个单目标的线性规划，在给定的 g 值下，很容易求出此时的最优解，又可以 根据个人承受能力给出一系列的 g 值， 求出一系列的最优值。 通过对这一系列的 （g,R)的拟合， 得到一个函数关系式 R f ( g ) ，运用数学方法以求得一个合理的投资方案。 模型求解，不妨令债券 A1，股票 A2 的风险损失率分别为：X=0.1%，Y=1.5% 利用 lingo 软件求解模型三得到对应不同的 g 值对应的最优解，列表如下图 由于对于项目 xi 有限制条件，所以 g 的取值下限也就相应固定，股票的取值下限为 0.1 与其 风险 0.015 乘积即为 0.0015.g 的取值下限也就为 0.0015.