高中数学立体几何解题方法技巧

立体几何

高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：1.三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点，题型一般为选择题或填空题．

1． 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关

系．

2． 空间几何体的三视图

(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．

(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．

(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线． 3． 直观图的斜二测画法

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，

z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

4． 空间几何体的两组常用公式

(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝1

2

ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；

③S 台侧＝1

2(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；

④S 球表＝4πR 2

(R 为球的半径)．

(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝1

3Sh (S 为底面面积，h 为高)；

③V 台＝1

3(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；

④V 球＝43πR 3

.

考点一 三视图与直观图的转化

例1 (1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为

( )

(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )

答案 (1)B (2)D

解析 (1)底面为正三角形，一侧棱垂直于底面．由虚线知可 能有一侧棱看不见．由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是3，故其侧视图只

可能是选项B 中的图形．

(2)如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D.

空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为

( )

(2)(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是

( )

答案 (1)A (2)D

解析 (1)根据已知条件作出图形：四面体C 1－A 1DB ，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.

(2)根据几何体的三视图知识求解．

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D. 考点二 几何体的表面积及体积

例2 (1)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是

( )

A ．8

B ．6 2

C ．10

D ．8 2

(2)(2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm 3

.

答案 (1)C (2)24

解析 (1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥，SA ⊥平面ABC ，△ABC 中∠ABC ＝90°，SA ＝AB ＝4，BC ＝3，因此图中四个面的三角形均为 直角三角形，SB ＝42，AC ＝5，S △SAC ＝10，S △SAB ＝8，S △SBC ＝62，

S △ABC ＝6，所以最大面积是10.

(2)由三视图可知，其直观图为：

AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，

∴BC ＝5. 作AH ⊥BC 于H ，

AH ＝AB ·AC BC ＝125

.

作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N .连接MN .

V ＝13×(5×3)×125＋(3×4)×12

×2＝24.

(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是

关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．

(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

(1)(2013·江西)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

( )

A ．200＋9π

B ．200＋18π

C ．140＋9π

D ．140＋18π

(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

答案 (1)A (2)38

解析 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成．

V ＝10×4×5＋12

×π×32×2＝200＋9π.

(2)将三视图还原为直观图后求解．

根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱， 所以S ＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. 考点三 多面体与球

例3 如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线

BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，

则该球的体积为

( )

A.3

2

π

B ．3π

C.2

3

π

D ．2π

要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定

球心的位置，由于△BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B ，C ，D 的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可． 答案 A

解析 如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ， 连接AE ，OD ，EO ，AO .

由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD . 由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ， 所以AE ⊥平面BCD .