构建完整的数学认知结构

构建完整的数学认知结构
现代教育理论在学习心理方面最为重要的成果就是对学生如何建构学习的认知体系所作出的一系列回答。

其中建构主义最具代表性，其理论核心是承认学生在学习中的积极性即主观能动性，但教师的指导作用也是不容忽视的。

在数学教学中教师如何为学生搭建认知平台，创造适合的数学认知情境是进入教学的最重要环节。

而在整个教学进程中，学生知识结构的逐步形成和趋于完善才是数学教学的关键所在。

数学科学研究的对象是客观世界的抽象模型，其重要的特点是运用的广泛性，这样数学学习便不能回避具体问题的模型抽象过程，其建构的基础便是数与数的演进，形及形的变换，数与形之间的关联等等。

因此数形结合是数学学习的重要策略，华罗庚教授说:数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微;美国数学家斯蒂恩说:如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.数形结合是一种极富数学特点的信息转换策略.
作为学生学习任务的学校数学，其知识结构的建立与科学数学在原理上是相似的，我们的教学的基本原则是从生活中的简单概念发展出数学概念，从一个数学概念迁移到数学新概念，在概念建立和发展中催生出数学知识法则和原理。

这种不断概念化的貌似提纯的数学化过程的重要价值便是数学在解决实际问题中的无以伦比的优越性。

因此构建完整的数学知识结构，应包括数学知识的产生，发展和应用的各个环节，不能随意“掐头、去尾、烧中段”，这是数学教学的关键所在。

数学学习是一种既重视学生问题意识的培养，又重视学生的数学知识应用能力的培养；既关注数学知识的发现过程，又关注数学问题的解决过程；既强调学习内容的开放性，又强调学习过程的探究性的研究性数学学习活动．问题解决必须有认知成分的参与，不管什么问题，其解决的效果都依软于认知活动的紧张性和质t.按照安德森的观点，问题解决是目的指向性的认知操作序列.老师指导、调控学生的思维活动，充分地暴露数学思维活动过程，是形成良好数学结构的根本保证．根据数学知识结构，重现和暴露数学家思维活动的过程。

数学知识结构是数学思维活动的主要内在依据；而合理的数学思维过程，就是数学知识结构建立、推广、发展的过程，数学思维的宏观过程与知识结构的密切关系自不待说，即使是数学思维的微观过程，与知识结构的发展也存在着紧密的联系．不少学生不能从知识结构的总体上把握数学中的概念、定理、公式、方法和技巧的原因，正是出于在数学教学中不自觉地掩盖了数学思维过程中的某些环节(如发观问题、提出研究课题的环节)．
元认知性问题能够启发学生思维活动，因此，在数学教学中，要提高学生的元认知水平，发展学生的思维能力，重视元认知策略性知识的教学。

充分暴露数学的思维过程。

促使学生养成自我监控和反思的习惯，发展学生数学学习的元认知能力。

世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔(H．Freudenthal)教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。

⋯‘通过反思才能使(学生的)现实世界数学化。

”“没有反思，学生的理解水平不可能从一个水平升华到更高的水平。

”“回头看”的目的是为了促进自我总结与自我反思。

总结与反思，可以看成是解题活动中的重要组成部分，也就是指在问题获得解决以后还应回顾整个解题过程，并深入地思考能否用别的方法求解，是否存在更为简单的解题方法等。

很显
然，对这些问题的思考不仅有利于学生跳出细节，并从整体上进行把握，而且有利于学生超越教材的编排束缚，从而建立起更为合理的认知框架。

因此，帮助学生逐步养成“回头看”的思维习惯也是需要达成的预期教学目标之一。

反思的方法:查问题表征，查解题依据，查解题思路、查结论.(1)检查问题表征时，看是否审清题意，是否挖掘出题目的内隐信息;(2)解题依据的检查应围绕题目的目标，看所用的定律、公式和结论是否准确;(3)解题思路的检查主要看所用的思路是否符合逻辑，是否可靠;执)查结果，可采用逆推的思想，看能否由所得结论推得条件.
为了某种目的，对观点、答案、方法和资料的价值做出判断的评价性问题。

对这些材料和方法符合准则的程度作出定量的和定性的判断。

以错悟理性提问，培养学生思维活动的批判性。

设计归谬性的问题，让学生不自觉地一步步陷入明显的谬误之后再帮助分析失误之处；
有效的课堂提问最终要让学生获得数学思维，使得学生具有严密的数学逻辑思维能力，具有创新的思维能力，从而使其数学能力得到全面发展。

当学生在掌握一类题目的基本思路及解法后，可以用一题多变或一题多问的方式提问。

进行思维的变通性、创造性训练。

良好的问题是认知支架的重要部分,课堂提问要注重学生自主意识的培养，多提开放性问题，充分发挥学生的创新能力，不断建构学生良好认知结构。

开放性问题是驱动学生思维活动的有效策略．开放性问题是学生高质量思维的重要保障。

开放式问题可以把学习的自主权还给学生，进而引导学生在问题解决中自主学习、合作交流，进行多解、多问、多变的发散思考，从而获得各自创造性思维的发展。

这样，在一步一步的主动思考中，学生则会逐步完善认知，提高认知水平。

数学开放题是指那些答案不惟一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题．(法雷尔，2005)开放式问题可以激发高层次的思维活动：开放式问题可以鼓励学生推理、判断、评价、表达意见以及讨论某件事，收集例证、做出判断，开放式提问还能引发学生做出个性化的、具有创造性的、与众不同甚至“出圈”的。

数学开放题学习是指在分析、理解数学开放题的基础上引导学生自主探究其多形式、多层次解答的数学学习活动。

例如，在讲解抛物线通过设置这样的问题，巧妙把学生引入积极探究的学习之中，并且沟通了一元二次方程、二次三项式和二次函数之间的联系。

采用变式提问，变换角度，巧设疑问，培养能力。

不断变换提问的角度。

从不同的角度提问，引起学生多方面去思考，从中选择解决问题最佳方法，以此培养学生求异思维和发散思维。