最大团问题-回溯法

04 代码示例
void Clique::Backtrack(int i) { //计算最大团 if(i>n) //到达叶子节点 { for(int j=1;j<=n;j++) bestx[j]=x[j]; bestn=cn; return; } //检查当前顶点是否与当前团连接 int ok=1; for(int j=1;j<i;j++) if(x[j]&&a[i][j]==0) { ok=0;break; } if(ok) //进入左子树 { x[i]=1; cn++; Backtrack(i+1); //回溯到下一层节点 x[i]=0;cn--; } if(cn+n-i>bestn) //通过上界函数判断是否减去 右子树 { x[i]=0; Backtrack(i+1); } }
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MCP回溯法详细介绍
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图1 无向图G
图2 无向图G的补图G’
代码运行结果
代码运行结果
修改了上界函数 cn+n-i>=bestn
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问题描述
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5来自百度文库
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。 用邻接矩阵表示图G，n为G的顶点数，cn存储当前团的顶点数，bestn存 储最大团的顶点数。cn+n-i为进入右子树的上界函数，当cn+n-i<bestn时， 不能在右子树中找到更大的团，可将Z的右节点剪去。
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i=3 cn=2 bestn=0 2
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2 i=3 cn=1 bestn=3 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4
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i=2 cn=0 bestn=3
2 i=3 cn=1 bestn=3 3 3
i=4 cn=2 bestn=0
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i=5 cn=2 bestn=0
i=4 cn=2 bestn=3 4 4 4 4
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回 溯 法 基 本 思 想
02 问题描述
给定无向图G=(V，E)。如果U V，且对任意u，v U有(u，v) E，则称U是G的完全子图。 G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完 全子图中。 G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。 下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这 个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2， 5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5} 也是G的最大团。
•解空间：子集树 •可行性约束函数：顶点i到已选入的顶点集中每 一个顶点都有边相连。 •上界函数：有足够多的可选择顶点使得算法有可 能在右子树中找到更大的团。
05 实例分析
MCP回溯法详细介绍
根节点i=1 cn=0 bestn=0 R i=1 cn=0 bestn=3 i=2 cn=1 bestn=0 1
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i=6 cn=3 bestn=3
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06 算法度量
1 时间复杂度
由于最大团问题是一个子集 树问题，每个可行叶结点都 做一次bestx更新，因此可 知算法的时间复杂度O(n2n)
2 空间复杂度
在程序中使用邻接矩阵才存储 图，用两个一维数组存储当前 解和最优解信息，因此可知所 用的存储空间O(n2)由于程序 采用递归搜索，因此递归也占 用了一定的栈空间
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
08 应用
最大团问题是图论中的一个经典组合优化问题，也是一类NP 完全问题，对最大团问题的研究具有很大的理论价值。
最大团问题也被称为最大独立集问题，在实践中有非常广泛
的应用，被应用于市场分析、方案选择、信号传输、计算机视觉、 故障诊断、人工智能、聚类分析、移动计算等不同领域。
概念补充
如果UV且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G的空子图。G的空子图 U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集 是G中所含顶点数最多的独立集。 对于任一无向图G=(V，E)其补图G=(V1，E1)定义为：V1=V，且(u， v)E1当且仅当(u，v)E。 U是G的最大团当且仅当U是G的最大独立集。
最大团问题
—回溯法
The author ：王志红
One
Two Four
回溯法基本思 想 问题描述
Five
Six Eight
目录
实例分析 算法度量
改 进 应 用
contents
Three 算法设计
代码示例
Seven
01 回溯法基本思想.
回溯法按照深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜 索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果 肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点 回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。 回溯法搜索解空间树时，根节点首先成为一个活结点，同时也成 为当前的扩展节点。在当前扩展节点处，搜索向纵深方向移至一个新 节点。这个新节点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展节点。如 果当前扩展节点不能再向纵深方向移动，则当前的扩展节点就成为死 结点。此时，往回回溯至最近的一个活节点处，并使这个活结点成为 当前的扩展节点。 回溯法以这种方式递归地在解空间中搜索，直至找到所有要求的 解或解空间已无活结点为止。