板壳结构有限元
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x
θx1 1
3 那么
y
θy1 w1
z
2
薄板三角形单元
应用实例
四边简支板的中心挠度系数计算
单元数 （1/4板）
2×2
4×4
板中心挠度wD/qL4 0.004249 0.004153
8×8 解析解
0.004098 0.004042
则薄板内部会发生虚应变
外力做的虚功为 在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。
薄板矩形单元
设局部编号1、2、3、4，
x 、y方向长度分别为2a、
2b的矩形板单元如图所示。 每个结点的位移分量为
每个结点的载荷分量为 则一个单元的位移向量和载荷向量为
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 一个单元有12个位移分量，那么 位移函数应该为
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
第九章 板壳结构有限元
板壳结构基本知识
板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元 进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。
板壳结构基本知识
厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面 为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。
1 ~ 1 h1~1 100 80 b 8 5
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄 板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠 度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切 变形的影响。
Mxy=Myx
内力列向量为
薄板基础理论知识
内力可以根据应力进行计算得到
使用记号
平面应力问题 中的弹性矩阵
于是
薄板基础理论知识
进行反向回代，可以得到
在板的上、下表面处，z=±0.5t，于是应力为
薄板基础理论知识
如果薄板在z方向承受分布荷载
此时薄板内部产生应力 则可以采用虚功原理
与之平衡，
假设发生虚位移 ， 应力做的虚功为
壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。 因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当 然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。
薄板结构有限元
薄板基础理论知识
薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其中 t 为 板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发 生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横 截面上将存在内力——弯矩和扭矩。
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：
式中：
薄板矩形单元
结点载荷向量的计算： 假设板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 积分展开，得
如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大
薄板矩形单元
应用实例
受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，泊松比为0.3)
θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 y
位移模式应包含9个参数。
θx1 1
θy1
z
w1
x 3
2
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试： Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法
基于面积坐标性质，上述位移模式还可改写为：
薄板三角形单元
进行一系列的推导后，可得到
形函数的具体计算式为：
薄ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形单元
建立了位移模式之后，那么剩下的工作就并不复杂：位移模式→ 应变离散→ 应力离散→刚度矩阵→载荷向量→约束处理→求解。
但位移模式是建立在面积坐标上的，相关的计算怎么进行？
导数间的关系为
单元数 （1/4板）
2×2 4×4 6×6 理论解
四边固定
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
0.00580
-0.1233
0.00571
-0.1245
0.00560
-0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角
每个分块的
薄板矩形单元
薄板矩形单元形函数的性质 对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 另外，N1对x，y的偏导数在各结点 处均为零。？？？ 于是，位移函数可表达为：
薄板矩形单元
薄板矩形单元应变离散
薄板矩形单元
薄板矩形单元应力离散 那么，相应的，内力矩
薄板矩形单元
薄板矩形单元的单元刚度矩阵，其形式也为通用的 展开进行积分
薄板基础理论知识
薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。
根据几何方程，应变可表示为
对于薄板问题， 一般采用形变分量表示
x向曲率 y向曲率 扭率
薄板基础理论知识
相应的内力可表示为：
[D]为平面应力问题的弹性矩阵：
薄板基础理论知识
图示为板的一个微元体。为方便计，取x和 y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截 面上的正应力σx可合成为一个力偶，从而 构成该横截面上的弯矩（单位宽度上的弯 矩）Mx。 同理，在垂直于y轴的横截面上的正应力σy 合成弯矩My，剪应力τxy合成扭矩Mxy，剪 应力τyx合成扭矩Myx,由于剪应力互等
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。 利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然 十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成， 完成这项工作首先需要将其转化为一个2×2的正方形，对于 矩形单元，这项操作并不困难。
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 建立的形函数形式如下：
薄板基础理论知识
对于薄板问题采用如下假设： （1）直法线假设：薄板中面法线 变形后仍保持为法线且长度不变。 （2）忽略板中面的法线应力分量， 且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行 于中面的位移，即中面不变形。
由第（2）条可知挠度w与z无关，
由第（1）条可知 zx和 yz等于零，另外根据第（3）条中面无变形
θx1 1
3 那么
y
θy1 w1
z
2
薄板三角形单元
应用实例
四边简支板的中心挠度系数计算
单元数 （1/4板）
2×2
4×4
板中心挠度wD/qL4 0.004249 0.004153
8×8 解析解
0.004098 0.004042
则薄板内部会发生虚应变
外力做的虚功为 在后面我们会利用虚功原理来建立有限元控制方程。
薄板矩形单元
设局部编号1、2、3、4，
x 、y方向长度分别为2a、
2b的矩形板单元如图所示。 每个结点的位移分量为
每个结点的载荷分量为 则一个单元的位移向量和载荷向量为
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 一个单元有12个位移分量，那么 位移函数应该为
确定，因此离散时，网格划分有局限性。
Adini方案
舍去了二次项xy，致使常扭率无法保证，单元过刚、位移偏小，因此分析
结果只有一阶精度。
Bell方案
增加单元内部位移参数——三角形形心挠度。整体分析前需要消去内部自 由度（静力凝聚）， Zienkiewicz指出这种单元不能保证收敛。
薄板三角形单元
Zienkiewicz采用面积坐标解决了直角坐标下遇到的困难。 面积坐标 采用面积坐标表达的位移模式为：
第九章 板壳结构有限元
板壳结构基本知识
板壳结构在工程上应用十分广泛。在设计分析中采用板壳单元 进行结构分析，可以得到足够的精度和良好的效果。
板壳结构基本知识
厚度方向的尺寸小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中，表面 为平面的成为板，表面为曲面的称为壳。
1 ~ 1 h1~1 100 80 b 8 5
平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方向。对于薄 板小挠度问题，它的变形完全由横向变形确定；对于薄板大挠 度问题，则属于几何非线性问题。对于厚板，应考虑横向剪切 变形的影响。
Mxy=Myx
内力列向量为
薄板基础理论知识
内力可以根据应力进行计算得到
使用记号
平面应力问题 中的弹性矩阵
于是
薄板基础理论知识
进行反向回代，可以得到
在板的上、下表面处，z=±0.5t，于是应力为
薄板基础理论知识
如果薄板在z方向承受分布荷载
此时薄板内部产生应力 则可以采用虚功原理
与之平衡，
假设发生虚位移 ， 应力做的虚功为
壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在中面变形。 因此可以认为壳体是平面应力问题和平板弯曲问题的组合。当 然，对于厚壳结构，仍需要横向剪切变形的影响。
薄板结构有限元
薄板基础理论知识
薄平板，取其中性面为坐标面，z轴垂直于中性面。其中 t 为 板厚。当板受有垂直于板中性面的外力时，板的中性面将发 生弯扭变形，从而变成一个曲面。板变形的同时，在板的横 截面上将存在内力——弯矩和扭矩。
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：
式中：
薄板矩形单元
结点载荷向量的计算： 假设板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 积分展开，得
如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大
薄板矩形单元
应用实例
受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，泊松比为0.3)
θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 y
位移模式应包含9个参数。
θx1 1
θy1
z
w1
x 3
2
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试： Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法
基于面积坐标性质，上述位移模式还可改写为：
薄板三角形单元
进行一系列的推导后，可得到
形函数的具体计算式为：
薄ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三角形单元
建立了位移模式之后，那么剩下的工作就并不复杂：位移模式→ 应变离散→ 应力离散→刚度矩阵→载荷向量→约束处理→求解。
但位移模式是建立在面积坐标上的，相关的计算怎么进行？
导数间的关系为
单元数 （1/4板）
2×2 4×4 6×6 理论解
四边固定
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
0.00580
-0.1233
0.00571
-0.1245
0.00560
-0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实 际中广泛应用。单元的结点位移仍然 为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角
每个分块的
薄板矩形单元
薄板矩形单元形函数的性质 对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 另外，N1对x，y的偏导数在各结点 处均为零。？？？ 于是，位移函数可表达为：
薄板矩形单元
薄板矩形单元应变离散
薄板矩形单元
薄板矩形单元应力离散 那么，相应的，内力矩
薄板矩形单元
薄板矩形单元的单元刚度矩阵，其形式也为通用的 展开进行积分
薄板基础理论知识
薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。
根据几何方程，应变可表示为
对于薄板问题， 一般采用形变分量表示
x向曲率 y向曲率 扭率
薄板基础理论知识
相应的内力可表示为：
[D]为平面应力问题的弹性矩阵：
薄板基础理论知识
图示为板的一个微元体。为方便计，取x和 y的方向的宽度均为1。在垂直于x轴的横截 面上的正应力σx可合成为一个力偶，从而 构成该横截面上的弯矩（单位宽度上的弯 矩）Mx。 同理，在垂直于y轴的横截面上的正应力σy 合成弯矩My，剪应力τxy合成扭矩Mxy，剪 应力τyx合成扭矩Myx,由于剪应力互等
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。 利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然 十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成， 完成这项工作首先需要将其转化为一个2×2的正方形，对于 矩形单元，这项操作并不困难。
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。 建立的形函数形式如下：
薄板基础理论知识
对于薄板问题采用如下假设： （1）直法线假设：薄板中面法线 变形后仍保持为法线且长度不变。 （2）忽略板中面的法线应力分量， 且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行 于中面的位移，即中面不变形。
由第（2）条可知挠度w与z无关，
由第（1）条可知 zx和 yz等于零，另外根据第（3）条中面无变形