“等腰三角形”的分割问题

“等腰三角形”的分割问题
近几年各地中考试卷中经常出现一些有特色的图形分割题，这类问题趣味性强，想象空间广阔，一般没有复杂的计算，但需要较强的空间想象和分析问题的能力，其中就包括等腰三角形的分割问题．现例说如下．
例1 如图1，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．仿照图1，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（注：如果两个图中分割出的3个三角形分别全等而只是分割线的具体位置不同，认为是同一种分割方法．）
分析与解本题的背景是数学中“黄金三角形”（顶角是36°的等腰三角形称为黄金三角形）的分割问题．除了题中给出的分割方法，还有如下的分割方法：
(1)如图2，线段BD＝BC＝BE，AE＝AD，这种分割方法其实借鉴了题中给出的分割方法，第一次分割方法(分割线BD)与原图相同，第二次改为把△ABD分割成两个等腰三角形．
(2)如图3，分别作△ABC任意两边垂直平分线交于点O，连结OA、OB、OC．由垂直平分线的性质，可知OA＝OB＝OC，所以分割符合题意，进一步看，其实点O就是△ABC的外心，从圆的角度来说OA、OB、OC都是⊙O半径．
(3)更一般的结论：对于任意锐角三角形，外心O与三角形顶点的连线都可以把原三角形分割成三个等腰三角形，如图4所示．
例2 经过等腰三角形的一个顶点的直线，把等腰三角形分成的两个较小的三角形，都是等腰三角形，求原三角形各角的度数．
分析与解易知上题中的“黄金三角形”就是符合题意的一个答案．那么，还有哪些等腰三角形符合题意呢？可以根据顶角的大小分类考虑：
(1)如果顶角是直角，即原三角形是等腰直角三角形，尝试画图不难发现只要作顶角的平分线即可，如图5，易证AD＝BD＝CD．如果从底角画分割线，如图6，△ABD中，∠A＝90°，AB>AD，所以△ABD不可能是等腰三角形（因为在直角三角形或钝角三角形中直角、钝角只能作为顶角）；
(2)如果顶角是钝角，同理也只能从顶角画分割线，并且可以说明分割方法是唯一的，如图7，△ABC中，AD是分割线．过点A作AG⊥BC于点G，由“垂线段最短”原理可知AG最短，并且线段AB＝AC>AD，图中∠ADB为钝角，若△ABD是等腰三角形，只可能AD＝BD，∠B＝∠BAD．
在△ADC中，由于AD<AC，所以只要考虑AD＝DC和AC＝DC两种情况，若AD ＝DC，由AD＝BD，可得AD＝BD＝DC，此时能进一步证明∠BAC＝90°，这与已知∠BAC为钝角矛盾．所以只能AB＝AC＝CD，AD＝BD．设∠B＝∠BAD＝∠C＝x，则∠ADC＝∠DAC＝2x．
由三角形内角和为180°，可得方程
x＋x＋x＋2x＝180°，解得算＝36°，
所以∠BAC＝108°，∠ABC＝∠ACB＝36°．
(3)如果顶角是锐角，若从顶角画分割线，如图8，△ABC中，AD是分割线，过点A 作AC⊥BC于点G，同理可以说明若AD＝DC，则∠BAC＝90°；若AC＝DC，则∠BAC ＝108°，这两种情况都与顶角是锐角相矛盾，所以，当顶角是锐角时只能从底角画分割线．
如图9，△ABC中，点D在AC边上，对于△ABD，AB>AD．若AB＝BD，则∠A ＝∠ADB<90°，所以∠BDC是钝角，所以ABDC中只能BD＝DC，所以∠DBC＝∠C，这与已知∠ABC＝∠C矛盾，所以△ABD中只能AD＝DC．
在△BDC中，若BD＝DC，图形就是问题1中的黄金三角形，此时∠A＝36°，∠ABC ＝∠C＝72°．
若BD＝DC，显然不成立；
若CB＝CD，如图10，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠DBC＝2x，所以∠ABC＝∠C＝3x．
由三角形内角和为180°，可得方程
x＋3x＋3x＝180，解得x＝180
7
，
所以∠A＝180
7
︒
，∠ABC＝∠C＝
540
7
︒
．
综上所述，符合条件的等腰三角形有四种情况，三个角分别为：90°、45°、45°；108°、36°、36°；
36°、72°、72°；180
7
︒
、
540
7
︒
、
540
7
︒
．
例3 （2007无锡中考数学压轴题）
(1)已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．
(2)已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．
分析与解(1)如图11，共有2种不同的分割法．
(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．
在△DBC中，
①若∠C是顶角，如图12，
则∠ADB>90°．
∠CBD＝∠CDB
＝1
2
（180°－x）
＝90°－x，
∠A＝180°－x－y．
此时只能有∠A＝∠ABD．
即180°－x－y＝y－（90°－1
2 x），
∴3x＋4y＝540°，
即∠ABC＝135°－3
4
∠C；
②若∠C是底角，则有两种情况：第一种情况，如图13，
当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，
∠ABD＝y－x．
(i)由AB＝AD，得2x＝y－x，
此时有y＝3x，
即∠ABC＝3∠C．
(ii)由AB＝BD，得
180°－x－y＝2x，
此时3x＋y＝180°，
即∠ABC＝180°－3∠C．
(iii)由AD＝BD，得
180°－x－y＝y－x，
此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角，
第二种情况，如图14，
当BD＝BC时，
∠BDC＝x．
∠ADB＝180°－x>90°，
此时只能有AD＝BD．
从而∠A＝∠ABD＝1
2
∠C<∠C，
这与题设∠C是最小角矛盾，
∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立，
通过上述三个问题的研究可见，等腰三角形的分割问题，无论是对动手操作能力还是分析推理能力，都有较高的要求，笔者认为，解决这一类问题的一般策略是，先尝试画图操作，一方面设法找出一部分结论，同时也对分割可能的情况有一个初步的了解；在此基础上确定一个严密的分类标准（如问题2中，先对原等腰三角形的顶角按照直角、钝角、锐角分类，再对每种情况按从顶角顶点，或从底角顶点画分割线作分类讨论）；最后通过推理，确定每一种情况是否成立，从而得出所有正确的结论．。