振动理论06(1-2)-非线性振动

振动理论(6-1)
第6章具有非线性特征的系统
陈永强
北京大学力学系
6.1 非线性系统的举例
●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程
⏹线性振动理论能表征很多实际问题
⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要
讨论非线性微分方程
●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为
⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线
性振动或者非线性响应
⏹叠加原理不适用于非线性系统
⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变
非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例
硬化弹簧软化弹簧
3
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质量附在长度为的拉
直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

令质
量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中
产生的弹性恢复力如图
(b )所示该系统自由振动方程：
对称硬化弹簧的例子
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由几何关系
代入运动方程
显然这是一个非线性方程
如果认为是小振动，有，因此5
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●单摆，重，长度。

单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为
，绕轴的转动方程为
●代入质量的惯性矩, 有
●小振幅情况为简谐振动，
●
振幅较大，
对称软化弹簧的例子
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对比两种情况的非线性方程
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硬化情形
分段线性化恢复力
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软化情形
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●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应
●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

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●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的
●滞后回线关于原点对称
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11线性
软化
弹性卸载反向加载弹性卸载
●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●
双线性非弹性恢复力
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12双线性
●理想弹塑性恢复力
●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损
失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/14
13刚塑形
带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线
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●下图两个问题在数学上是相同的
⏹
前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动
⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性
⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改
变。

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刚塑形
理想弹塑性
6.2 速度和周期的直接积分法
具有非线性对称恢复力的无阻尼系统的自由振动
或
表示单位质量的弹性恢复力
加速度表示为
代入运动方程
(c) 16
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●假定单位质量的恢复力为如图所示
●积分方程(c)，注意最大位移对应的速度为零
(d)
m(e)积分方程(e)，可得一周期之内任意部分的时间
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●一个完整周期为
⏹给定恢复力解析表达式，上述积分可得系统固有周期
●振动系统在任一点的单位质量的动能等于图中阴影部分表示的势能
●平衡位置的动能为
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m
几种特殊情况
●弹性恢复力为的奇次幂的情况：
●代入运动方程，并进行积分，有
时，；
时，
●相应地，可以通过积分得到周期表达式
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●对于的线性情况()
●时，恢复力正比于
积分数值求解的结果为，周期
这种情况下，振动周期与振幅成反比
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●如果弦的初始张力不为零，可设单位质量的恢复力有以下形式
式中，,
则相应的平衡位置最大速度可以表示为
●自由振动的周期
或
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把等式右边的椭圆积分转化为标准形式，令根据椭圆积分表
是第一类椭圆积分，,
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对于本问题，有
因此，周期可以用第一类椭圆积分记为
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●如果弹性性质偏离线性很小，可设，对应于线性恢复力的情况。

●如果及很大，的第一项可以忽略，, 因此的表达式为
●其他属于两种极端之间的情况，必须数值计算
, 并进一步查表确定响应椭圆积分的值
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软化弹簧的情形
,
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●不同的可以近似模拟不同的硬化和软化弹簧●对于更一般的情况，可以用多项式
来表征恢复力，仍然可以用椭圆积分来处理。

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●运动方程●动能方程m m
●周期积分方程●最大速度●周期
m
m
m
单摆问题
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椭圆积分的标准形式
引入记号，以及新的变量, 使得
(v)可以求得
(w)
代入周期方程，即可得标准的第一类椭圆积分
查表可以求得任意对应的方程的值
最大转动位移很小时，的值也很小，在方程中可以忽略, 积分将等于, 即得小转动情况下的固有频率。

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例题
一包裹质量为m，包裹内有弹簧，从高处落到混凝土地板上。

根据实验，弹簧作用在质量上的恢复力可以近似表示为,是包裹内弹簧和质量之间的相对位移。

假定包裹与地板之间为非弹性冲击，确定其最大相对位移。

解下落的包裹受冲击的瞬间，其单位质量的动能为. 由单位质量的恢复力, 再由方程(6.9),
所以有
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6.3 自由振动的近似方法-Ritz平均法
●考虑无阻尼系统的自由振动，其运动方程为
●左侧两项分别代表单位质量的惯性力和弹性恢复力. 由D’Alembert原理，方程看成是两个力互相平衡的动力学平衡方程
●令系统发生虚位移, 所有力的功等于零，因此有
●首先假定一个自由振动的近似解
式中，, 为选定的时间函数，为权系30
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●虚位移为
(t)●在一周内对虚功积分，有
●并有
以上n个代数方程联立求解，可得
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●考虑准线性方程
●取自由振动的近似函数（一项）
解
解得
从中解出，
●更精确的满足对称性的近似结果可以通过假设以下的两项级数形式：32
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振动理论(6-2)
第6章具有非线性特征的系统
陈永强
北京大学力学系
6.4 非线性受迫振动
●假定系统具有与函数成比例的阻尼力，与函数
成比例的弹性力，并受周期性激励的作用●采用Ritz法求解
●先假定一个级数形式的稳态振动的近似解
一周内的虚功为零，有
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●对于无阻尼情形，方程为
称为Duffing方程。

⏹Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从
简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。

工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程。

●取一项近似的方程为
●代入并积分
q
给出了稳态响应的与激励频率之间的关系
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硬化弹簧
软化弹簧
●上面两个方程可以看成是两个曲线的交点
⏹等号左面的的立方函数和右面的线性函数
⏹不同的对应不同的线性函数及两条曲线交点表示的解⏹可以建立横坐标为频率的谱分布
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●：在图(a)中标为 斜线与曲线交于点，对应于图(b)中的竖直线 ,与曲线交于
●：在图(a)中标为 的斜线与曲线交于点，对应于图(b)中
●: 在图(a)中标为●的水平线，在线性系统中代表共振，在这种情况下，仅仅是对应两个点对
：
点和
硬化弹簧情况
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●随频率比继续增加，斜线
的斜率增加，会达到一个
临界条件：斜线与曲线上
部相交()，同时在曲线的
下部某点()相切；在图(b)
中对应的响应谱上的两点
()均发生于临界频率
(), 即响应谱具有
无限大斜率()。

●图(a)中比较陡的线 ，与
曲线有三个交点()，
在响应谱中分别对应
().
●利用以上方法，可构造出
图(b)中的实线
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●图(b)中的虚线为硬化弹簧
响应谱中的双曲渐近线
⏹对应着非线性自由振动
⏹令，得到自由振动的振幅
-频率关系为
●不同荷载值对应的一族响应谱曲线如图中的细实线所示
●其临界点的连线如图中的点划线所示，其方程为
⏹可以通过对方程微分得到
●外荷载变化，即外载幅值和频率变化，系统振幅随之变化
●对于硬化弹簧，幅值越大，或者频率越接近，导致的越大，弹簧愈刚
硬，固有频率越大, 图(b)中的渐近虚线向频率轴的正方向弯曲
●临界点处振幅随频率变化增加最快
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●线 和 均与立方曲线有三个交点；
●线●与曲线有一个交点，并与曲线相切；
●线❍和⏹与曲线各有一个交点●图(a)中的点在图(b)中有对应点.
●响应谱在点有一个竖直切线
⏹临界频率发生在受迫频率小于
线性系统的共振频率
软化弹簧
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中令, 得图(b)虚线对应的方程：
是一个表示自由振动的椭圆。

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不同荷载对应的响应谱曲线(细实线)的临界点的连线如图6.12(b)点划线所示，对应的方程为
(对方程微分可得)
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1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-41
无阻尼受迫振动响应谱
●硬化弹簧和软化弹簧的响
应谱表征跳跃现象(drop-
jump)的数学模型
⏹在非线性力学系统受简谐力
函数的试验中可以观察到
6.4.2 非线性系统的跳跃现象
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45
●从开始逐渐增大受迫频率，其稳态振幅由图中响应曲线左分支确定
●直到到达某点(如点), 由于外部扰动，振幅会突然从曲线的点跌落到点，此时的相位角会从变为180°
●随后继续增大受迫频率，响应会沿着响应谱的右侧分支逐渐消失的部分变化
●如果受迫频率从一个比较高的值（大于）缓慢减小，稳态响应也会逐渐增大，直到达到临界点. 然后振幅会从跳到,相位角会从180°→0°
●继续减小受迫频率，响应会沿着变化直至消失●当受迫频率减小时，振幅一定会从跳到,
因为在时，解是唯一的
硬化弹簧的情况
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●Klotter*曾经证明，图
中的虚线和点划线确
定描述了一个不稳定
区域
●曲线上的表示在
物理上不能观察到的
条件
●点把响应谱的右侧
分支分成两个部分
⏹不稳定的上部⏹稳定的下部.2014/11/14
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*K Klotter,E Pinney.A comprehensive stability
criterion for the forced vibrations of non-linear
systems.J Appl Mech.1953,20,P9
●从0→
缓慢增加受迫频率, 其稳定振幅沿着路径发展⏹从
发生跳跃，相位角从0°转变为180°●如果从逐渐减小受迫频率，其响应会沿着变化
⏹从
发生突然跌落，相位角从180°→0°●不稳定区域由竖直线以及虚线和点划线围成●点把响应谱的左面的分支分为两个部分：不稳定的上部和稳定的下部。

软化弹簧的情况
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6.4.3 有粘性阻尼的情况，
运动方程可以表示为
假定其稳态受迫振动的一阶近似为
(b)为了用Ritz法确定两个常数和, 要满足：
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把(b)代入上式并进行积分，
利用和, 有
(e)
(f) 50
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